Calcule, caso existam, os limites abaixo:
(c) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\quad

Passo 1

O enunciado pede calcular, se existir, o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Dados relevantes: o numerador é y^{2} (sempre não negativo), o denominador é \sqrt{x^{2}+y^{2}} (sempre não negativo) e o ponto de interesse é (x,y)=(0,0). A função não é escrita no ponto (0,0) (pois dá divisão por zero), mas queremos ver se o valor da fração quando (x,y) se aproxima de (0,0) tende a um número fixo.

Passo 2

Primeira ideia útil: introduzir a distância ao origem
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Quando (x,y)\to(0,0), temos r\to 0. Vou usar r para escrever e comparar quantidades de forma mais clara — é um truque padrão e muito prático.

Passo 3

Mostre uma desigualdade entre |y| e r. Como
r^{2}=x^{2}+y^{2}\ge y^{2},
segue que
r\ge |y|.
Expliquei passo a passo: r^{2} é soma de dois termos não negativos, então é pelo menos y^{2}; tirar raiz positiva de ambos os lados preserva a desigualdade porque as duas partes são não negativas.

Passo 4

A partir de r\ge |y| elevando ao quadrado obtemos r^{2}\ge y^{2}. Como r>0 para pontos diferentes da origem, podemos dividir por r e obter
\frac{y^{2}}{r}\le \frac{r^{2}}{r}=r.
Também sabemos que \frac{y^{2}}{r}\ge 0 porque o numerador e o denominador são não negativos. Portanto temos a desigualdade em cadeia
0 \le \frac{y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \le r.

Passo 5

Aplicamos o Teorema do Aperto (squeeze theorem). Ele diz: se a_{n}\le b_{n}\le c_{n} para toda n e a_{n}\to L, c_{n}\to L, então b_{n}\to L. Aqui, ao fazer (x,y)\to(0,0) temos r\to 0. Como 0\to 0 e r\to 0, pela desigualdade do Passo 4 concluímos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0.

Passo 6

(Para reforçar a intuição: método alternativo com coordenadas polares.) Escrevendo x=r\cos\theta, y=r\sin\theta com r\ge 0, obtemos
\frac{y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{r^{2}\sin^{2}\theta}{r}=r\sin^{2}\theta.
Como \sin^{2}\theta está entre 0 e 1 e r\to 0, o produto r\sin^{2}\theta\to 0, mesma conclusão.

Resposta

0

Exercícios relacionados