Calcule, caso existam, os limites abaixo:
(c)
Passo 1
O enunciado pede calcular, se existir, o limite
Dados relevantes: o numerador é
(sempre não negativo), o denominador é
(sempre não negativo) e o ponto de interesse é
. A função não é escrita no ponto
(pois dá divisão por zero), mas queremos ver se o valor da fração quando
se aproxima de
tende a um número fixo.
Passo 2
Primeira ideia útil: introduzir a distância ao origem
Quando
, temos
. Vou usar
para escrever e comparar quantidades de forma mais clara — é um truque padrão e muito prático.
Passo 3
Mostre uma desigualdade entre
e
. Como
segue que
Expliquei passo a passo:
é soma de dois termos não negativos, então é pelo menos
; tirar raiz positiva de ambos os lados preserva a desigualdade porque as duas partes são não negativas.
Passo 4
A partir de
elevando ao quadrado obtemos
. Como
para pontos diferentes da origem, podemos dividir por
e obter
Também sabemos que
porque o numerador e o denominador são não negativos. Portanto temos a desigualdade em cadeia
Passo 5
Aplicamos o Teorema do Aperto (squeeze theorem). Ele diz: se
para toda
e
,
, então
. Aqui, ao fazer
temos
. Como
e
, pela desigualdade do Passo 4 concluímos que
Passo 6
(Para reforçar a intuição: método alternativo com coordenadas polares.) Escrevendo
,
com
, obtemos
Como
está entre
e
e
, o produto
, mesma conclusão.