O objetivo desse problema é determinar uma forma geral para todas as ternas Pitagóricas.
(a) Fixado
, seja
a reta que passa pelo ponto
com inclinação
. Determine a equação de
.
(b) Determine a intersecção de
com o círculo unitário
. Denote por
essa intersecção.
(c) Obtemos assim uma parametrização do círculo:
. Mostre que as coordenadas de
são racionais se, e somente se,
.
(d) Conclua que toda terna Pitagórica pode ser escrita da forma
.
(a) Fixado
(b) Determine a intersecção de
(c) Obtemos assim uma parametrização do círculo:
(d) Conclua que toda terna Pitagórica pode ser escrita da forma
Passo 1
Vou reescrever claramente o que o enunciado pede e o que já nos foi dado, para a gente não se perder:
- Temos o ponto fixo
. - Para um parâmetro real
consideramos a reta que passa por e tem inclinação . (Parte (a) pede a equação dessa reta.) - O círculo unitário é
. (Parte (b) pede a intersecção de com , e a notação para essa intersecção.) - A parte (c) pede que mostremos: as coordenadas de
são números racionais se, e somente se, . - A parte (d) pede para concluir que toda terna Pitagórica (isto é, inteiros
com ) pode ser escrita na forma
com
.
Não vou resolver nada ainda aqui; só identifiquei o que é pedido e os dados que temos.
Passo 2
(a) Equação da reta
— dedução passo a passo.
Usamos a forma ponto-inclinação de uma reta: a reta que passa por com inclinação
satisfaz
Usamos a forma ponto-inclinação de uma reta: a reta que passa por
Tomando
e
(pois o ponto é
), obtemos
ou seja, em forma simplificada,
Essa é a equação de
. (Observação: aqui
é um número real finito; a “reta vertical” não aparece porque
está sendo tratado como inclinação real.)
Passo 3
(b) Interseção de
com o círculo
— encontrar
.
Para achar a interseção substituímos na equação do círculo
. Fazendo a substituição:
Para achar a interseção substituímos
Expandindo:
Agrupando termos em
:
Observação útil: sabemos que
pertence ao círculo e também pertence à reta
, logo
é raiz dessa equação quadrática. Assim podemos fatorar o polinômio sabendo um fator
. Vamos fazer a fatoração explícita: verificamos que
Assim as raízes em
são
(correspondente a
) e a outra raiz dada por
Agora encontramos a coordenada
correspondente usando
. Calculamos primeiro
Portanto
Concluímos que a interseção
(a interseção que não é
) é
Passo 4
Verificação de que
de fato está no círculo e comentário sobre parametrização.
Vamos verificar que as coordenadas encontradas satisfazem . Tomando
Vamos verificar que as coordenadas encontradas satisfazem
temos
Portanto
pertence a
. A fórmula obtida dá uma parametrização do círculo (exceto pelo ponto
, que corresponde intuitivamente a
). Essa parametrização é a clássica “parametrização racional” do círculo usando a reta que passa por
.
Passo 5
(c) Mostrar: as coordenadas de
são racionais se, e somente se,
. Vamos provar as duas implicações com calma.
Direção “se
então coordenadas racionais”:
Se então
é um número da forma
(com
,
). As coordenadas de
são
Se
Essas expressões são combinações de somas, produtos e divisões envolvendo
e o inteiro
. Como o conjunto dos racionais é fechado sob soma, produto e divisão por elemento não nulo, segue que
e
são racionais. (Exemplo concreto: se
então
e
ficam como frações com numeradores e denominadores inteiros.)
Direção "se as coordenadas são racionais então
":
Suponha que e que
. Pela fórmula temos
Suponha que
Observe que
Dividindo
por
obtemos
Logo
. Como
e
(de fato
ocorreria só para
, que é o ponto
não obtido por valor finito de
), segue que
é uma razão de números racionais, portanto
.
Resumo:
implica coordenadas racionais (por fechamento das operações) e coordenadas racionais implicam
via
. Assim provamos a bicondicional solicitada.
Passo 6
(d) Concluir a forma geral das ternas Pitagóricas. Vamos transformar um triplo inteiro
satisfazendo
na forma desejada, explicando cada passo.
- Começamos normalizando o triplo: divida por
(assumindo ) e considere o ponto racional na circunferência
Esse ponto pertence a
e tem coordenadas racionais (pois
são inteiros).
- Pela parte (c), existe
tal que
Escrevemos
como uma fração irredutível
com
e
(podemos tomar
coprimos, mas isso não é essencial para concluir a forma geral). Substituindo
nas coordenadas de
obtemos
- Igualando coordenadas:
Multiplicando as duas igualdades pelo mesmo denominador
obtemos números inteiros no lado direito, logo
divide
. Escrevemos então
para algum
. Substituindo de volta,
Isso mostra que todo triplo Pitagórico inteiro
pode ser escrito na forma
com
,
. Em particular, as ternas primitivas (ou seja, com
) correspondem ao caso
, dando exatamente
Portanto chegamos à forma pedida. (Observação prática: normalmente impõe-se também
e que
não sejam ambos ímpares para obter todas as primitivas sem repetições, mas o enunciado pediu apenas a forma geral com
.)
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) As coordenadas de são racionais se, e somente se,
.
(d) Toda terna Pitagórica pode ser escrita como com
; em particular as primitivas têm a forma
com
.
(b)
(c) As coordenadas de
(d) Toda terna Pitagórica pode ser escrita como