Mostre que as seguintes funções são harmônicas:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é uma função harmônica.
Uma função é harmônica se sua Laplaciana se anula identicamente, isto é,
Uma função
em toda a região de interesse. Vamos então calcular as derivadas parciais segundas de
e somá-las.
Passo 2
Calcular
e
.
Logo
e em seguida
Passo 3
Calcular
e
.
e em seguida
Passo 4
Formar a Laplaciana:
Para
ser harmônica precisaríamos de
, mas aqui
não é identicamente zero (depende de
).
Resposta
A Laplaciana de
é
em geral, logo
não é uma função harmônica.