Mostre que as seguintes funções são harmônicas:
f(x, y)=x^2-3 x y^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
f(x,y)=x^2-3xy^2
é uma função harmônica.
Uma função fcolonR^2toR é harmônica se sua Laplaciana se anula identicamente, isto é,
De<a f = fxx+fyy=0
em toda a região de interesse. Vamos então calcular as derivadas parciais segundas de f e somá-las.

Passo 2

Calcular partial f/partial x e partial^2f/partial x^2.
f(x,y)=x^2-3xy^2
Logo
fx=partialpartial xl(x^2-3xy^2r) =2x-3y^2,
e em seguida
fxx=partialpartial x(2x-3y^2) =2

Passo 3

Calcular partial f/partial y e partial^2f/partial y^2.
fy=partialpartial yl(x^2-3xy^2r) =-6xy,
e em seguida
fyy=partialpartial y(-6xy) =-6x

Passo 4

Formar a Laplaciana:
De<a f = fxx+fyy =2 + (-6x) =2 - 6x
Para f ser harmônica precisaríamos de De<a fequiv0, mas aqui De<a f=2-6x não é identicamente zero (depende de x).

Resposta

A Laplaciana de f é
De<a f(x,y)=2-6xneq0
em geral, logo f(x,y)=x^2-3xy^2 não é uma função harmônica.

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