Resolva o seguinte PVI. Classifique e determine os seus pontos de equílibrio.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
além de encontrar e classificar os pontos de equilíbrio. O conteúdo é equação diferencial autônoma de primeira ordem, que resolveremos por separação de variáveis e depois determinaremos as raízes de
e sua estabilidade.
Passo 2
Procuramos os pontos de equilíbrio
satisfazendo
Dessa equação vêm as raízes
Passo 3
Para classificar a estabilidade calculamos
Em
temos
, ou seja, ponto não hiperbólico (semiequilíbrio instável se
).
Em temos
Em
logo
é assintoticamente estável.
Passo 4
Separamos variáveis:
Fazemos a decomposição em frações parciais
Multiplicando por
e igualando coeficientes obtém-se
Passo 5
Integrando ambos os lados:
Os três termos dão
ou de forma mais compacta
Passo 6
Usando
em
determina-se
, mas a solução fica melhor apresentada implicitamente por
Resposta
Os pontos de equilíbrio são
A solução geral fica dada implicitamente por
com
ajustado para
.