Resolva o seguinte PVI. Classifique e determine os seus pontos de equílibrio.
d P(t)d t & =P^2(t)(alpha-beta P(t)) P(0) & =alpha beta

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
dPdt=P^2(alpha-beta P), P(0)=alphabeta,
além de encontrar e classificar os pontos de equilíbrio. O conteúdo é equação diferencial autônoma de primeira ordem, que resolveremos por separação de variáveis e depois determinaremos as raízes de f(P)=P^2(alpha-beta P) e sua estabilidade.

Passo 2

Procuramos os pontos de equilíbrio P* satisfazendo
P*^2(alpha-beta P*)=0
Dessa equação vêm as raízes
P*=0 e alpha-beta P*=0;Rightarrow;P*=alphabeta

Passo 3

Para classificar a estabilidade calculamos
f(P)=P^2(alpha-beta P), f'(P)=ddPl[P^2(alpha-beta P)r] =2alpha P-3beta P^2=P(2alpha-3beta P)
Em P*=0 temos f'(0)=0, ou seja, ponto não hiperbólico (semiequilíbrio instável se alpha>0).
Em P*=alpha/beta temos
f'l(alphabetar) =alphabetal(2alpha-3betacdotalphabetar) =alphabeta(2alpha-3alpha) =-alpha^2beta<0,
logo P*=alpha/beta é assintoticamente estável.

Passo 4

Separamos variáveis:
dPP^2(alpha-beta P)=dt
Fazemos a decomposição em frações parciais
1P^2(alpha-beta P) =AP+BP^2+Calpha-beta P
Multiplicando por P^2(alpha-beta P) e igualando coeficientes obtém-se
A=betaalpha^2, B=1alpha, C=beta^2alpha^2

Passo 5

Integrando ambos os lados:
integraldPP^2(alpha-beta P) =integrall[betaalpha^21P +1alpha1P^2 +beta^2alpha^21alpha-beta Pr]dP ,=, t+C
Os três termos dão
betaalpha^2ln|P| -1alpha P -betaalpha^2ln|alpha-beta P| =t+C,
ou de forma mais compacta
betaalpha^2ln!l(Palpha-beta Pr) -1alpha P =t+C

Passo 6

Usando P(0)=alphabeta em t=0 determina-se C, mas a solução fica melhor apresentada implicitamente por
betaalpha^2ln!l(P(t)alpha-beta P(t)r) -1alpha,P(t) =t +betaalpha^2ln!l(alphabetaalpha-betacdotalphabetar) -1alpha^2beta

Resposta

Os pontos de equilíbrio são
P*=0(semiequilíbrio instável se alpha>0), P*=alphabeta(estável) íáá
A solução geral fica dada implicitamente por
betaalpha^2ln!l(P(t)alpha-beta P(t)r) -1alpha,P(t) =t+C,
com C ajustado para P(0)=alphabeta.

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