Calcule a derivada direcional da função f(x, y)=y e^{x} no ponto P=(0,3) e na direção da reta tangente à parábola de equação y=x^{2}+3.
Passo 1
O enunciado dá a função f(x,y)=y e^{x}, o ponto P=(0,3) e pede a derivada direcional de f em P na direção da reta tangente à parábola de equação y=x^{2}+3.
Informações importantes extraídas do enunciado:
A função é f(x,y)=y e^{x}.
O ponto onde se quer a derivada direcional é P=(0,3).
A direção é a da reta tangente à curva y=x^{2}+3 no ponto P.
Observação: o ponto P pertence à parábola porque 3=0^{2}+3. Portanto a tangente da parábola em P está bem definida.
Passo 2
Conceitos que vamos usar (explicação didática, passo a passo):
Definição prática de derivada direcional: para uma função diferenciável f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}, a derivada direcional de f em P na direção do vetor unitário u é o número
D_{u}f(P)=\nabla f(P)\cdot u.
Aqui \nabla f(P) é o gradiente de f em P e \cdot é o produto escalar (dot product). Isso significa que a taxa de variação de f na direção u é obtida projetando o gradiente sobre u.
O gradiente \nabla f é o vetor das derivadas parciais:
Interpretação: \frac{\partial f}{\partial x} é a taxa de variação de f quando apenas x muda (mantendo y fixo); \frac{\partial f}{\partial y} é a taxa quando só y muda.
Vetor de direção: se for dada uma curva \mathbf{r}(t) com \mathbf{r}(t_{0})=P, o vetor tangente é \mathbf{r}'(t_{0}). Para usar a fórmula D_{u}f(P)=\nabla f(P)\cdot u é preciso que u seja unitário. Se o vetor tangente for v, calcula-se u=v/\|v\|.
Outra forma (verificação via regra da cadeia): se \mathbf{r}(t) é uma parametrização da curva com \mathbf{r}(t_{0})=P, então
Se \mathbf{r}'(t_{0}) já for unitário, essa derivada coincide com D_{u}f(P).
Passo 3
Encontrar o vetor tangente à parábola y=x^{2}+3 no ponto P.
Parametrizamos a parábola por \mathbf{r}(t)=(t,\;t^{2}+3). Essa é uma parametrização natural: a coordenada x é t e y=t^{2}+3.
O vetor velocidade (tangente) é
\mathbf{r}'(t)=\left(1,\;2t\right).
Precisamos do vetor tangente em P=(0,3). O ponto P corresponde a t=0 porque \mathbf{r}(0)=(0,0^{2}+3)=(0,3).
Logo o vetor tangente em P é
v=\mathbf{r}'(0)=(1,0).
Passo 4
Obter o vetor unitário u na direção do vetor tangente v=(1,0).
Norma de v:
\|v\|=\sqrt{1^{2}+0^{2}}=\sqrt{1}=1.
Como \|v\|=1, o vetor unitário é simplesmente
u=\frac{v}{\|v\|}=(1,0).
(Praticamente a tangente aqui é exatamente a direção positiva do eixo x.)
Passo 5
Calcular o gradiente de f e avaliá-lo em P.
A função é f(x,y)=y e^{x}. Vamos calcular as derivadas parciais:
Para \frac{\partial f}{\partial x}: tratar y como constante e derivar e^{x}. Como \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x},
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y e^{x}.
Para \frac{\partial f}{\partial y}: tratar e^{x} como constante e derivar y, obtendo
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=e^{x}.
Avaliando em P=(0,3):\frac{\partial f}{\partial x}(0,3)=3 e^{0}=3, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(0,3)=e^{0}=1.
Portanto o gradiente em P é
\nabla f(0,3)=(3,1).
Passo 6
Calcular a derivada direcional usando \;D_{u}f(P)=\nabla f(P)\cdot u\;.
Temos \nabla f(0,3)=(3,1) e u=(1,0). O produto escalar é
\nabla f(0,3)\cdot u = (3,1)\cdot(1,0)=3\cdot1+1\cdot0=3.
Verificação rápida pela regra da cadeia com a parametrização: \left.\dfrac{d}{dt}f(\mathbf{r}(t))\right|_{t=0}=\nabla f(0,3)\cdot \mathbf{r}'(0)=(3,1)\cdot(1,0)=3. Como \mathbf{r}'(0) já era unitário, o resultado coincide.
Passo 7
Interpretação final e incentivo rápido:
O número 3 significa que, ao mover-se a partir de P na direção da tangente à parábola (direção do eixo x positivo), a função f aumenta à taxa de 3 unidades de f por unidade de deslocamento linear nessa direção.
Bom trabalho por encarar a questão! Essa é uma boa prática: achar o vetor tangente, normalizá-lo (se necessário), calcular o gradiente e fazer o produto escalar. Repete isso em mais exercícios e fica bem confortável rapidinho.