Sendo f(x, y)=x^{2}+y^{2}, calcule a derivada direcional de f no ponto P=(1,2), nas seguintes direções:
Na direção \alpha=30^{\circ} e sentido crescente do eixo y;

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Função: f(x,y)=x^{2}+y^{2}.
  • Ponto onde calcular a derivada direcional: P=(1,2).
  • Direção: ângulo \alpha=30^\circ e indicado o "sentido crescente do eixo y".
Pergunta: calcular a derivada direcional de f em P na direção especificada.

Passo 2

Interpretação da direção (importante): a frase "direção \alpha=30^\circ e sentido crescente do eixo y" será tomada como uma direção que forma um ângulo de \alpha=30^\circ em relação ao eixo y positivo, girando do eixo y para o eixo x no sentido que aumenta y (isto garante componente y positiva). Assim, o vetor diretor unitário \mathbf{u} correspondente tem componentes
\mathbf{u}=(\sin\alpha,\;\cos\alpha),
porque se o ângulo é medido a partir do eixo y, a componente x é \sin\alpha e a componente y é \cos\alpha.
Agora substituímos \alpha=30^\circ. Sabendo que \sin30^\circ=\dfrac{1}{2} e \cos30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, obtemos
\mathbf{u}=\left(\dfrac{1}{2},\;\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right).

Passo 3

Lembrete e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • A derivada direcional de uma função f em um ponto P na direção do vetor unitário \mathbf{u} mede a taxa de variação de f quando nos deslocamos por unidade de comprimento na direção de \mathbf{u}.
  • A forma prática para calcular é usar o gradiente de f. O gradiente \nabla f(x,y) é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\;\dfrac{\partial f}{\partial y}\right).
  • A derivada direcional de f em P na direção \mathbf{u} é o produto escalar (dot product) entre \nabla f(P) e \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u}.
Explicando intuitivamente: \nabla f(P) aponta na direção de máximo crescimento e o produto escalar projeta esse crescimento na direção escolhida.

Passo 4

Calcular o gradiente de f e avaliá-lo em P=(1,2).
  • Derivadas parciais:
\dfrac{\partial f}{\partial x}=2x,\qquad \dfrac{\partial f}{\partial y}=2y.
  • Logo o gradiente é
\nabla f(x,y)=(2x,\;2y).
  • Avaliando em P=(1,2):
\nabla f(1,2)=(2\cdot1,\;2\cdot2)=(2,\;4).

Passo 5

Calcular a derivada direcional como produto escalar entre \nabla f(1,2) e \mathbf{u}.
Temos
\mathbf{u}=\left(\dfrac{1}{2},\;\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right), \qquad \nabla f(1,2)=(2,\;4).
O produto escalar é
D_{\mathbf{u}}f(1,2)=2\cdot\dfrac{1}{2}+4\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Calculando termo a termo:
2\cdot\dfrac{1}{2}=1, \qquad 4\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}.
Somando,
D_{\mathbf{u}}f(1,2)=1+2\sqrt{3}.
Como aproximação numérica, \sqrt{3}\approx1,732, então
D_{\mathbf{u}}f(1,2)\approx 1+2\cdot1,732 \approx 4,464.

Passo 6

Interpretação final e incentivo: o valor 1+2\sqrt{3} significa que, se você se mover a partir de P=(1,2) um pequeno deslocamento unitário na direção indicada (30° a partir do eixo y no sentido crescente), a função f(x,y)=x^{2}+y^{2} aumenta à taxa aproximadamente 4,464 por unidade de deslocamento. Tá difícil? Tá tudo bem — esse procedimento (gradiente dot unit vector) é a receita básica e rápida para qualquer derivada direcional: pega o gradiente, normaliza a direção e faz o produto escalar. Você já dominou a técnica!

Resposta

1+2\sqrt{3}

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