Sendo
, calcule a derivada direcional de
no ponto
, nas seguintes direções:
Na direção
e sentido crescente do eixo
;
Na direção
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte:
- Função:
. - Ponto onde calcular a derivada direcional:
. - Direção: ângulo
e indicado o "sentido crescente do eixo ".
Pergunta: calcular a derivada direcional de
em
na direção especificada.
Passo 2
Interpretação da direção (importante): a frase "direção
e sentido crescente do eixo
" será tomada como uma direção que forma um ângulo de
em relação ao eixo
positivo, girando do eixo
para o eixo
no sentido que aumenta
(isto garante componente
positiva). Assim, o vetor diretor unitário
correspondente tem componentes
porque se o ângulo é medido a partir do eixo
, a componente
é
e a componente
é
.
Agora substituímos
. Sabendo que
e
, obtemos
Passo 3
Lembrete e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- A derivada direcional de uma função
em um ponto na direção do vetor unitário mede a taxa de variação de quando nos deslocamos por unidade de comprimento na direção de . - A forma prática para calcular é usar o gradiente de
. O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
- A derivada direcional de
em na direção é o produto escalar (dot product) entre e :
Explicando intuitivamente:
aponta na direção de máximo crescimento e o produto escalar projeta esse crescimento na direção escolhida.
Passo 4
Calcular o gradiente de
e avaliá-lo em
.
- Derivadas parciais:
- Logo o gradiente é
- Avaliando em
:
Passo 5
Calcular a derivada direcional como produto escalar entre
e
.
Temos
Temos
O produto escalar é
Calculando termo a termo:
Somando,
Como aproximação numérica,
, então
Passo 6
Interpretação final e incentivo: o valor
significa que, se você se mover a partir de
um pequeno deslocamento unitário na direção indicada (30° a partir do eixo
no sentido crescente), a função
aumenta à taxa aproximadamente
por unidade de deslocamento. Tá difícil? Tá tudo bem — esse procedimento (gradiente dot unit vector) é a receita básica e rápida para qualquer derivada direcional: pega o gradiente, normaliza a direção e faz o produto escalar. Você já dominou a técnica!