Mostre as seguintes identidades do cálculo vetorial:
\begin{array}{cc} \text { c } & \vec{\nabla}(f g)=f \vec{\nabla} g+g \vec{\nabla} f \end{array}

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar a identidade
\vec{\nabla}(f g)=f\,\vec{\nabla} g+g\,\vec{\nabla} f.
Informações dadas e hipóteses necessárias (que vou usar): f e g são funções escalares diferenciáveis de posição, por exemplo f=f(x,y,z) e g=g(x,y,z). Vou trabalhar no espaço tridimensional com coordenadas (x,y,z). Não vou assumir nada mais além de diferenciabilidade (isto garante que as derivadas parciais existam).

Passo 2

Entendendo o operador gradiente: a definição prática que usaremos é que o gradiente de uma função escalar h(x,y,z) é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de h em relação a cada coordenada. Em notação:
\vec{\nabla} h = \left(\frac{\partial h}{\partial x},\;\frac{\partial h}{\partial y},\;\frac{\partial h}{\partial z}\right).
Explicação curta: \frac{\partial h}{\partial x} significa “derivar h em relação a x mantendo y e z fixos”. O gradiente aponta na direção de crescimento máximo de h e suas componentes são essas taxas de variação.

Passo 3

Lembrete do produto de funções e derivadas parciais: para funções reais de uma variável, a regra do produto diz que (uv)'=u'v+uv'. A versão para derivadas parciais é análoga: ao calcular \frac{\partial}{\partial x}(f g) tratamos y e z como constantes, então vale
\frac{\partial}{\partial x}(f g)=\frac{\partial f}{\partial x}\,g+f\,\frac{\partial g}{\partial x}.
O mesmo raciocínio vale para \frac{\partial}{\partial y} e \frac{\partial}{\partial z}. Isso decorre da definição limite da derivada parcial, mas aqui basta entender que ao variar uma variável, o produto se deriva componente a componente com a regra do produto.

Passo 4

Aplicando a regra do produto a cada componente do gradiente de fg:
\frac{\partial}{\partial x}(f g)=\frac{\partial f}{\partial x}\,g+f\,\frac{\partial g}{\partial x},
\frac{\partial}{\partial y}(f g)=\frac{\partial f}{\partial y}\,g+f\,\frac{\partial g}{\partial y},
\frac{\partial}{\partial z}(f g)=\frac{\partial f}{\partial z}\,g+f\,\frac{\partial g}{\partial z}.
Cada linha veio diretamente da aplicação da regra do produto às derivadas parciais correspondentes.

Passo 5

Agora montamos o vetor gradiente de fg juntando as três componentes acima:
\vec{\nabla}(f g)=\left(\frac{\partial}{\partial x}(f g),\;\frac{\partial}{\partial y}(f g),\;\frac{\partial}{\partial z}(f g)\right).
Usando as expressões do Passo 4 obtemos
\vec{\nabla}(f g)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}\,g+f\,\frac{\partial g}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y}\,g+f\,\frac{\partial g}{\partial y},\;\frac{\partial f}{\partial z}\,g+f\,\frac{\partial g}{\partial z}\right).

Passo 6

Reagrupando as componentes por fatores f e g ficamos com
\vec{\nabla}(f g)=\left(g\,\frac{\partial f}{\partial x},\;g\,\frac{\partial f}{\partial y},\;g\,\frac{\partial f}{\partial z}\right) +\left(f\,\frac{\partial g}{\partial x},\;f\,\frac{\partial g}{\partial y},\;f\,\frac{\partial g}{\partial z}\right).
Mas os vetores à direita são exatamente g\,\vec{\nabla} f e f\,\vec{\nabla} g. Portanto concluímos a identidade desejada:
\vec{\nabla}(f g)=f\,\vec{\nabla} g+g\,\vec{\nabla} f.

Passo 7

Exemplo rápido para fixar (ilustrativo): tome f(x,y,z)=x^{2} e g(x,y,z)=y z. Então f g=x^{2}y z.
Calcule \vec{\nabla}(f g):
\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}y z)=2x y z,\quad \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}y z)=x^{2}z,\quad \frac{\partial}{\partial z}(x^{2}y z)=x^{2}y.
Logo
\vec{\nabla}(f g)=(2x y z,\;x^{2}z,\;x^{2}y).
Agora calcule f\,\vec{\nabla} g+g\,\vec{\nabla} f:
\vec{\nabla} g=(0,\;z,\;y),\quad f\,\vec{\nabla} g=(0,\;x^{2}z,\;x^{2}y),
\vec{\nabla} f=(2x,\;0,\;0),\quad g\,\vec{\nabla} f=(2x y z,\;0,\;0).
Somando:
f\,\vec{\nabla} g+g\,\vec{\nabla} f=(2x y z,\;x^{2}z,\;x^{2}y),
que coincide com \vec{\nabla}(f g). Exemplo confirma a identidade na prática.

Resposta

\vec{\nabla}(f g)=f\,\vec{\nabla} g+g\,\vec{\nabla} f

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