Mostre as seguintes identidades do cálculo vetorial:
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar a identidade
Informações dadas e hipóteses necessárias (que vou usar):
e
são funções escalares diferenciáveis de posição, por exemplo
e
. Vou trabalhar no espaço tridimensional com coordenadas
. Não vou assumir nada mais além de diferenciabilidade (isto garante que as derivadas parciais existam).
Passo 2
Entendendo o operador gradiente: a definição prática que usaremos é que o gradiente de uma função escalar
é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de
em relação a cada coordenada. Em notação:
Explicação curta:
significa “derivar
em relação a
mantendo
e
fixos”. O gradiente aponta na direção de crescimento máximo de
e suas componentes são essas taxas de variação.
Passo 3
Lembrete do produto de funções e derivadas parciais: para funções reais de uma variável, a regra do produto diz que
. A versão para derivadas parciais é análoga: ao calcular
tratamos
e
como constantes, então vale
O mesmo raciocínio vale para
e
. Isso decorre da definição limite da derivada parcial, mas aqui basta entender que ao variar uma variável, o produto se deriva componente a componente com a regra do produto.
Passo 4
Aplicando a regra do produto a cada componente do gradiente de
:
Cada linha veio diretamente da aplicação da regra do produto às derivadas parciais correspondentes.
Passo 5
Agora montamos o vetor gradiente de
juntando as três componentes acima:
Usando as expressões do Passo 4 obtemos
Passo 6
Reagrupando as componentes por fatores
e
ficamos com
Mas os vetores à direita são exatamente
e
. Portanto concluímos a identidade desejada:
Passo 7
Exemplo rápido para fixar (ilustrativo): tome
e
. Então
.
Calcule :
Calcule
Logo
Agora calcule
:
Somando:
que coincide com
. Exemplo confirma a identidade na prática.