Mostre as seguintes identidades termodinâmicas entre,
o coeficiente de dilatação volumétricaa e a compressibilidade isotérmica
alpha=KT(partial Ppartial T)V

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a relação entre o coeficiente de dilatação volumétrica alpha e a compressibilidade isotérmica KT, dada por
alpha = KT (partial Ppartial T)V
O conteúdo envolvido é cálculo de diferenciais totais e definições termodinâmicas de alpha e KT.

Passo 2

Escrevemos o diferencial total de V em função de T e P. Para a variável de estado V(P,T) vale
dV = (partial Vpartial T)P dT + (partial Vpartial P)T dP

Passo 3

Na condição isocórica temos dV=0. Assim
0 = (partial Vpartial T)P dT + (partial Vpartial P)T dP Longrightarrow (partial Ppartial T)V = -,(partial Vpartial T)P(partial Vpartial P)T

Passo 4

Usamos as definições termodinâmicas:
alpha = 1V(partial Vpartial T)P Longrightarrow (partial Vpartial T)P = alpha V,
KT = -1V(partial Vpartial P)T Longrightarrow (partial Vpartial P)T = -KT V

Passo 5

Substituindo em
(partial Ppartial T)V = -,alpha V-KT V = alphaKT,
multiplicando ambos os lados por KT obtemos
alpha = KT (partial Ppartial T)V

Resposta

alpha = KT (partial Ppartial T)V

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