Mostre que as seguintes identidades valem para os elementos de uma álgebra booleana qualquer: © a+b(a+c)=(a+b)(a+c)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que numa álgebra booleana qualquer vale a identidade
a + b(a + c) = (a + b)(a + c)
O conteúdo envolvido são as leis de distributividade e absorção em álgebra booleana. Vamos usar estas propriedades para transformar cada lado da igualdade e mostrar que ambos reduzem-se a mesma expressão.

Passo 2

Começamos simplificando o lado esquerdo usando a lei distributiva de cdot sobre +:
b(a + c) = bcdot (a + c) = bcdot a + bcdot c = ab + bc
Logo o lado esquerdo fica:
a + b(a + c) = a + (ab + bc)
pela comutatividade e associatividade de + podemos reescrever como:
a + ab + bc

Passo 3

A seguir aplicamos a lei de absorção a + ab = a:
a + ab + bc = a + bc
Portanto o lado esquerdo reduziu-se a a + bc.

Passo 4

Agora vamos ao lado direito e também expandi-lo usando distributividade de + sobre cdot:
(a + b)(a + c) = acdot a + acdot c + bcdot a + bcdot c = a + ac + ab + bc
Aqui usamos que acdot a = a (idempotência).

Passo 5

Em seguida aplicamos novamente as leis de absorção:
a + ac = a e a + ab = a
Logo
a + ac + ab + bc = a + bc
Então o lado direito também reduz-se a a + bc.

Passo 6

Como ambos os lados se reduzem à mesma expressão, concluímos que
a + b(a + c) = (a + b)(a + c) = a + bc
ou seja, a identidade está demonstrada.

Resposta

a + b(a + c) = (a + b)(a + c)

Exercícios relacionados