Mostre que as seguintes identidades valem para os elementos de uma álgebra booleana qualquer: ©
;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que numa álgebra booleana qualquer vale a identidade
O conteúdo envolvido são as leis de distributividade e absorção em álgebra booleana. Vamos usar estas propriedades para transformar cada lado da igualdade e mostrar que ambos reduzem-se a mesma expressão.
Passo 2
Começamos simplificando o lado esquerdo usando a lei distributiva de
sobre
:
Logo o lado esquerdo fica:
pela comutatividade e associatividade de
podemos reescrever como:
Passo 3
A seguir aplicamos a lei de absorção
:
Portanto o lado esquerdo reduziu-se a
.
Passo 4
Agora vamos ao lado direito e também expandi-lo usando distributividade de
sobre
:
Aqui usamos que
(idempotência).
Passo 5
Em seguida aplicamos novamente as leis de absorção:
Logo
Então o lado direito também reduz-se a
.
Passo 6
Como ambos os lados se reduzem à mesma expressão, concluímos que
ou seja, a identidade está demonstrada.