Reduza as seguintes expressões à sua forma disjuntiva, isto é, como uma união de interseções: . Note que mathscrB=lang<=mathscrP(Omega), cup, cap,-varnothing, Omegarang<= é uma álgebra booleana para um conjunto finito Omega qualquer.
Passo 1
O enunciado pede para escrever as expressões booleanas dadas na forma disjuntiva (união de interseções). Vamos usar Álgebra Booleana: leis de De Morgan, distributiva, complementar e identidades de união/interseção.
Passo 2
Aplicando a lei de De Morgan em A cup B:
A cup B = bar A cap bar B
Então a expressão (a) vira
(bar A cap bar B) cap (B cup bar C)
Passo 3
Distribuímos a interseção sobre a união em (a):
(bar A cap bar B) cap (B cup bar C) = (bar A cap bar B cap B) cup (bar A cap bar B cap bar C)
Como bar B cap B = varnothing e varnothing cup X = X, resta
bar A cap bar B cap bar C
Passo 4
Agora a expressão (b) é
(B cap C) cap (bar A cap C)
Pela lei de De Morgan:
B cap C = bar B cup bar C, bar A cap C = A cup bar C
Passo 5
Substituindo em (b) e distribuindo:
(bar B cup bar C) cap (A cup bar C) = (bar B cap A) cup (bar B cap bar C) cup (bar C cap A) cup (bar C cap bar C)
Passo 6
Como bar C cap bar C = bar C e qualquer interseção com bar C já está contida em bar C, a união se simplifica a
(bar B cap A) cup bar C
Resposta
(a) bar A cap bar B cap bar C
(b) (A cap bar B) cup bar C