Reduza as seguintes expressões à sua forma disjuntiva, isto é, como uma união de interseções: (a)(A cup B) cap(B cup barC) e(b)(B cap C) cap(barA cap C). Note que mathscrB=lang<=mathscrP(Omega), cup, cap,-varnothing, Omegarang<= é uma álgebra booleana para um conjunto finito Omega qualquer.

Passo 1

O enunciado pede para escrever as expressões booleanas dadas na forma disjuntiva (união de interseções). Vamos usar Álgebra Booleana: leis de De Morgan, distributiva, complementar e identidades de união/interseção.

Passo 2

Aplicando a lei de De Morgan em A cup B:
A cup B = bar A cap bar B
Então a expressão (a) vira
(bar A cap bar B) cap (B cup bar C)

Passo 3

Distribuímos a interseção sobre a união em (a):
(bar A cap bar B) cap (B cup bar C) = (bar A cap bar B cap B) cup (bar A cap bar B cap bar C)
Como bar B cap B = varnothing e varnothing cup X = X, resta
bar A cap bar B cap bar C

Passo 4

Agora a expressão (b) é
(B cap C) cap (bar A cap C)
Pela lei de De Morgan:
B cap C = bar B cup bar C, bar A cap C = A cup bar C

Passo 5

Substituindo em (b) e distribuindo:
(bar B cup bar C) cap (A cup bar C) = (bar B cap A) cup (bar B cap bar C) cup (bar C cap A) cup (bar C cap bar C)

Passo 6

Como bar C cap bar C = bar C e qualquer interseção com bar C já está contida em bar C, a união se simplifica a
(bar B cap A) cup bar C

Resposta

(a) bar A cap bar B cap bar C
(b) (A cap bar B) cup bar C

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