Questão 3. (Integrais duplas sobre regiões não-retangulares) Calcule as seguintes integrais duplas:
, onde
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde a região
é dada por
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A variável
varia entre e . - Para cada
fixo nessa faixa, a variável varia entre e . - A função a integrar é
.
A tarefa é calcular o valor numérico dessa integral dupla.
Passo 2
Interpretação da região e escolha da ordem de integração.
- A descrição de
já está no formato "para cada em , vai de até ". Isso sugere escrever a integral iterada com integração em primeiro e depois em . - Podemos aplicar a formulação de integrais iteradas (teorema de Fubini) porque a função é contínua na região
(o denominador é positivo ali), então a integral dupla pode ser calculada como integral iterada.
Passo 3
Escrevendo a integral como iterada com
interno:
Aqui explico claramente: integro primeiro em
mantendo
fixo, e depois integro o resultado em
de
a
.
Passo 4
Cálculo da integral interna
.
- Observação: para
fixo a expressão é uma função de , e o numerador é . Isso sugere uma substituição do tipo . - Definimos a substituição
Então diferenciando em relação a
obtemos
- Mudança dos limites de integração (em
para ):
- Substituindo na integral interna:
Passo 5
Avaliação da integral em
.
- Lembrando que
. Aqui pois , então podemos usar . - Assim
- Simplificando usando propriedades do logaritmo (
):
Importante: esse resultado não depende de
— ele é constante para todo
em
.
Passo 6
Agora substituímos o resultado da integral interna na integral externa em
:
Como
é constante, a integral é simples:
Passo 7
Concluímos o valor final da integral:
Você pode checar rapidamente a coerência: resultado positivo (f(x,y) ≥ 0 na região) e de ordem razoável.