Questão 3. (Integrais duplas sobre regiões não-retangulares) Calcule as seguintes integrais duplas:
\iint_{B} \frac{y}{x+y^{2}} d x d y, onde B=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 1 \leq x \leq 4,0 \leq y \leq \sqrt{x}\right\};

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{B} \frac{y}{x+y^{2}}\,dx\,dy,
onde a região B é dada por
B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 1 \le x \le 4,\; 0 \le y \le \sqrt{x}\}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A variável x varia entre 1 e 4.
  • Para cada x fixo nessa faixa, a variável y varia entre 0 e \sqrt{x}.
  • A função a integrar é (y)/(x+y^{2}).
    A tarefa é calcular o valor numérico dessa integral dupla.

Passo 2

Interpretação da região e escolha da ordem de integração.
  • A descrição de B já está no formato "para cada x em [1,4], y vai de 0 até \sqrt{x}". Isso sugere escrever a integral iterada com integração em y primeiro e depois em x.
  • Podemos aplicar a formulação de integrais iteradas (teorema de Fubini) porque a função é contínua na região B (o denominador x+y^2 é positivo ali), então a integral dupla pode ser calculada como integral iterada.

Passo 3

Escrevendo a integral como iterada com y interno:
\iint_{B} \frac{y}{x+y^{2}}\,dx\,dy = \int_{x=1}^{4}\left(\int_{y=0}^{\sqrt{x}} \frac{y}{x+y^{2}}\,dy\right)dx.
Aqui explico claramente: integro primeiro em y mantendo x fixo, e depois integro o resultado em x de 1 a 4.

Passo 4

Cálculo da integral interna \displaystyle \int_{0}^{\sqrt{x}} \frac{y}{x+y^{2}}\,dy.
  • Observação: para x fixo a expressão x+y^2 é uma função de y, e o numerador é y\,dy. Isso sugere uma substituição do tipo u = x+y^2.
  • Definimos a substituição
u = x + y^{2}.
Então diferenciando em relação a y obtemos
du = 2y\,dy \quad\Rightarrow\quad y\,dy = \frac{1}{2}\,du.
  • Mudança dos limites de integração (em y para u):
y=0 \Rightarrow u = x + 0^{2} = x,
y=\sqrt{x} \Rightarrow u = x + (\sqrt{x})^{2} = x + x = 2x.
  • Substituindo na integral interna:
\int_{y=0}^{\sqrt{x}} \frac{y}{x+y^{2}}\,dy = \int_{u=x}^{2x} \frac{1}{u}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int_{u=x}^{2x} \frac{1}{u}\,du.

Passo 5

Avaliação da integral em u.
  • Lembrando que \displaystyle \int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C. Aqui u>0 pois x\ge1, então podemos usar \ln u.
  • Assim
\frac{1}{2}\int_{x}^{2x} \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{2}\big[\ln u\big]_{u=x}^{u=2x} = \frac{1}{2}\big(\ln(2x)-\ln(x)\big).
  • Simplificando usando propriedades do logaritmo ( \ln(2x)-\ln(x)=\ln 2):
\int_{0}^{\sqrt{x}} \frac{y}{x+y^{2}}\,dy = \frac{1}{2}\ln 2.
Importante: esse resultado não depende de x — ele é constante para todo x em [1,4].

Passo 6

Agora substituímos o resultado da integral interna na integral externa em x:
\int_{x=1}^{4}\left(\int_{y=0}^{\sqrt{x}} \frac{y}{x+y^{2}}\,dy\right)dx = \int_{1}^{4} \frac{1}{2}\ln 2 \, dx.
Como \frac{1}{2}\ln 2 é constante, a integral é simples:
\int_{1}^{4} \frac{1}{2}\ln 2 \, dx = \frac{1}{2}\ln 2 \cdot (4-1) = \frac{1}{2}\ln 2 \cdot 3.

Passo 7

Concluímos o valor final da integral:
\iint_{B} \frac{y}{x+y^{2}}\,dx\,dy = \frac{3}{2}\ln 2.
Você pode checar rapidamente a coerência: resultado positivo (f(x,y) ≥ 0 na região) e de ordem razoável.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}\ln 2

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