Questão 3. (Integrais duplas sobre regiões não-retangulares) Calcule as seguintes integrais duplas:
, onde
é a região compreendida entre as curvas
e
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é a região limitada pelas curvas
,
e pelas retas verticais
e
. Informações dadas:
- Integrando:
. - Fronteiras em
: e . - Fronteiras em
: e .
A tarefa é montar corretamente os limites e calcular a integral.
Passo 2
Decidimos integrar primeiro em
(fatias verticais), ou seja, escrever a integral como
porque a região já vem limitada por retas verticais
e
. Precisamos identificar qual curva é a superior
e qual é a inferior
no intervalo
.
Para isso, verificamos onde se interceptam as curvas
e
. Igualando:
Resolvendo: elevando ao quadrado obtemos
, isto é
ou
. Assim as soluções são
e
. No intervalo dado
a interseção relevante é
. Testando um valor interior, por exemplo
:
e
, portanto
para
. Logo:
- curva superior:
, - curva inferior:
,
evaria de até .
Passo 3
Escrevemos a integral com os limites determinados:
Passo 4
Calculamos a integral interna em
. Como
é constante na integração em
,
A primitiva de
é
, então
Passo 5
Simplificamos a expressão obtida:
Portanto a quantidade dentro do colchete é
. Multiplicando por
temos
Assim a integral dupla reduz-se à integral simples
Passo 6
Agora calculamos a primitiva em
. Integramos termo a termo:
Portanto uma primitiva é
Passo 7
Avaliamos
nos extremos
e
:
Subtraindo: