Questão 3. (Integrais duplas sobre regiões não-retangulares) Calcule as seguintes integrais duplas:
\iint_{B} x y d A, onde B é a região compreendida entre as curvas y=\frac{1}{2} x, y=\sqrt{x}, x=2 e x=4;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{B} x y \, dA,
onde B é a região limitada pelas curvas y=\frac{1}{2}x, y=\sqrt{x} e pelas retas verticais x=2 e x=4. Informações dadas:
  • Integrando: f(x,y)=x y.
  • Fronteiras em x: x=2 e x=4.
  • Fronteiras em y: y=\frac{1}{2}x e y=\sqrt{x}.
    A tarefa é montar corretamente os limites e calcular a integral.

Passo 2

Decidimos integrar primeiro em y (fatias verticais), ou seja, escrever a integral como
\iint_{B} x y \, dA = \int_{x=a}^{b}\left(\int_{y=g_1(x)}^{g_2(x)} x y \, dy\right) dx,
porque a região já vem limitada por retas verticais x=2 e x=4. Precisamos identificar qual curva é a superior g_2(x) e qual é a inferior g_1(x) no intervalo x\in[2,4].
Para isso, verificamos onde se interceptam as curvas y=\frac{1}{2}x e y=\sqrt{x}. Igualando:
\frac{1}{2}x=\sqrt{x}.
Resolvendo: elevando ao quadrado obtemos \frac{1}{4}x^2 = x, isto é x^2 - 4x = 0 ou x(x-4)=0. Assim as soluções são x=0 e x=4. No intervalo dado [2,4] a interseção relevante é x=4. Testando um valor interior, por exemplo x=3: \sqrt{3}\approx1,732 e \frac{1}{2}\cdot3=1,5, portanto \sqrt{x}>\frac{1}{2}x para x\in[2,4). Logo:
  • curva superior: y=\sqrt{x},
  • curva inferior: y=\frac{1}{2}x,
    e x varia de 2 até 4.

Passo 3

Escrevemos a integral com os limites determinados:
\iint_{B} x y \, dA = \int_{x=2}^{4}\left(\int_{y=\frac{1}{2}x}^{\sqrt{x}} x y \, dy\right) dx.

Passo 4

Calculamos a integral interna em y. Como x é constante na integração em y,
\int_{y=\frac{1}{2}x}^{\sqrt{x}} x y \, dy = x \int_{\frac{1}{2}x}^{\sqrt{x}} y \, dy.
A primitiva de y é \tfrac{1}{2}y^2, então
x \int_{\frac{1}{2}x}^{\sqrt{x}} y \, dy = x\left[\tfrac{1}{2}y^2\right]_{y=\frac{1}{2}x}^{y=\sqrt{x}} = \tfrac{1}{2}x\left((\sqrt{x})^2 - \left(\tfrac{1}{2}x\right)^2\right).

Passo 5

Simplificamos a expressão obtida:
(\sqrt{x})^2 = x,\qquad \left(\tfrac{1}{2}x\right)^2 = \tfrac{1}{4}x^2.
Portanto a quantidade dentro do colchete é x - \tfrac{1}{4}x^2. Multiplicando por \tfrac{1}{2}x temos
\tfrac{1}{2}x\left(x - \tfrac{1}{4}x^2\right) = \tfrac{1}{2}\bigl(x^2 - \tfrac{1}{4}x^3\bigr) = \tfrac{1}{2}x^2 - \tfrac{1}{8}x^3.
Assim a integral dupla reduz-se à integral simples
\iint_{B} x y \, dA = \int_{2}^{4}\left(\tfrac{1}{2}x^2 - \tfrac{1}{8}x^3\right) dx.

Passo 6

Agora calculamos a primitiva em x. Integramos termo a termo:
\int \tfrac{1}{2}x^2 \, dx = \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{x^3}{3} = \tfrac{x^3}{6},
\int -\tfrac{1}{8}x^3 \, dx = -\tfrac{1}{8}\cdot \tfrac{x^4}{4} = -\tfrac{x^4}{32}.
Portanto uma primitiva é
F(x)=\tfrac{x^3}{6}-\tfrac{x^4}{32}.

Passo 7

Avaliamos F(x) nos extremos x=4 e x=2:
F(4)=\tfrac{4^3}{6}-\tfrac{4^4}{32}=\tfrac{64}{6}-\tfrac{256}{32}=\tfrac{32}{3}-8=\tfrac{8}{3},
F(2)=\tfrac{2^3}{6}-\tfrac{2^4}{32}=\tfrac{8}{6}-\tfrac{16}{32}=\tfrac{4}{3}-\tfrac{1}{2}=\tfrac{5}{6}.
Subtraindo:
F(4)-F(2)=\tfrac{8}{3}-\tfrac{5}{6}=\tfrac{16}{6}-\tfrac{5}{6}=\tfrac{11}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{11}{6}

Exercícios relacionados