O conteúdo usado será o teste de limites por trajetórias distintas: se ao aproximar (x,y)\to(0,0) por duas curvas diferentes obtivermos valores diferentes, o limite não existe.]
Passo 2
Para L_{1}=\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, escolhemos duas trajetórias:
— Pela reta y=0:
que, ao fazer x\to0, fica exatamente \tfrac{2m}{1+3m^{2}}.
Esse valor depende do parâmetro m. Por exemplo, para m=0 a razão vale 0 e para m=1 vale \tfrac{2}{4}=\tfrac12. Trajetórias distintas dão limites distintos, logo L_{2} não existe.
Passo 4
Para L_{3}=\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{(x+y)^{2}}{x^{2}+y^{2}}, também usamos y=m\,x: