Mostre que os seguintes limites não existem
\begin{array}{ll} \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}} & \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2 x y}{x^{2}+3 y^{2}} \\\ \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{(x+y)^{2}}{x^{2}+y^{2}} & \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}+x y^{2}}{x^{4}+y^{2}} \end{array}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os seguintes limites no plano não existem:
\begin{array}{ll} L_{1}=\lim _{(x,y)\to(0,0)}\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}},& L_{2}=\lim _{(x,y)\to(0,0)}\frac{2xy}{x^{2}+3y^{2}},\\[6pt] L_{3}=\lim _{(x,y)\to(0,0)}\frac{(x+y)^{2}}{x^{2}+y^{2}},& L_{4}=\lim _{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}+x y^{2}}{x^{4}+y^{2}}. \end{array}
O conteúdo usado será o teste de limites por trajetórias distintas: se ao aproximar (x,y)\to(0,0) por duas curvas diferentes obtivermos valores diferentes, o limite não existe.]

Passo 2

Para L_{1}=\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, escolhemos duas trajetórias:
— Pela reta y=0:
\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\bigg|_{y=0} =\frac{0}{x^{2}+0}=0, \quad\text{logo }\lim_{x\to0}\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=0.
— Pela reta x=0:
\frac{y^{2}}{0+y^{2}}\bigg|_{x=0} =1, \quad\text{logo }\lim_{y\to0}\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=1.
Como 0\neq1, o limite L_{1} não existe.

Passo 3

Para L_{2}=\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{2xy}{x^{2}+3y^{2}}, usamos a reta y=m\,x:
\frac{2x\,(m x)}{x^{2}+3(m x)^{2}} =\frac{2m\,x^{2}}{x^{2}+3m^{2}x^{2}} =\frac{2m}{1+3m^{2}},
que, ao fazer x\to0, fica exatamente \tfrac{2m}{1+3m^{2}}.
Esse valor depende do parâmetro m. Por exemplo, para m=0 a razão vale 0 e para m=1 vale \tfrac{2}{4}=\tfrac12. Trajetórias distintas dão limites distintos, logo L_{2} não existe.

Passo 4

Para L_{3}=\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{(x+y)^{2}}{x^{2}+y^{2}}, também usamos y=m\,x:
\frac{(x+m x)^{2}}{x^{2}+(m x)^{2}} =\frac{(1+m)^{2}x^{2}}{(1+m^{2})x^{2}} =\frac{(1+m)^{2}}{1+m^{2}}.
Esse quociente depende de m. Por exemplo, para m=0 temos 1 e para m=1 temos \tfrac{4}{2}=2. Como há dois valores diferentes, L_{3} não existe.

Passo 5

Para L_{4}=\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}+x y^{2}}{x^{4}+y^{2}}, tomamos:
— Trajetória x=0:
\frac{0^{2}+0\cdot y^{2}}{0+y^{2}} =0, \quad\text{logo limite igual a }0.
— Trajetória y=x^{2}:
\frac{x^{2}+x\,(x^{2})^{2}}{x^{4}+(x^{2})^{2}} =\frac{x^{2}+x^{5}}{2\,x^{4}} =\frac{1}{2}\,x^{-2}+\frac{x}{2} \;\xrightarrow[x\to0]{}\;\infty.
Em uma trajetória o valor tende a 0 e em outra diverge para +\infty. Portanto L_{4} não existe.

Resposta

Os quatro limites não existem.

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