(
pontos) Duas bolas estão presas uma a outra por um fio curto de massa desprezível. A de cima, de cortiça, com raio 10 cm e densidade
flutua sobre uma camada de óleo, de densidade
, com metade do volume submersa. Qual deve ser a densidade da bola de baixo para que apenas
de seu volume fique subemerso na água. O raio da bola de baixo vale 15 cm . Considere a densidade da água como
.
Passo 1
O enunciado mostra duas esferas ligadas por um fio de massa desprezível. A esfera de cima é de cortiça, com raio
e densidade
, flutuando no óleo
com metade do seu volume submerso. A esfera de baixo tem raio
e densidade
desconhecida, e flutua na interface óleo-água
de forma que apenas um terço do seu volume está submerso na água (os outros dois terços estão no óleo).
Para resolver, vamos usar:
1. Princípio de Arquimedes para cada esfera (força de empuxo igual ao peso do fluido deslocado).
2. Equilíbrio de forças (sumatório das forças ) para determinar a tensão no fio e a densidade
.
Para resolver, vamos usar:
1. Princípio de Arquimedes para cada esfera (força de empuxo igual ao peso do fluido deslocado).
2. Equilíbrio de forças (sumatório das forças
Passo 2
Equilíbrio da esfera de cortiça (esfera de cima).
- Volume total da cortiça:
- Metade do volume está submersa no óleo, então o empuxo vale
- Peso da cortiça:
- Tensão no fio
equilibra empuxo menos peso:
Passo 3
Equilíbrio da esfera de baixo.
- Volume total
. - Volume submerso em água:
. - Volume submerso em óleo:
. - Empuxo da água:
- Empuxo do óleo:
- Peso da esfera de baixo:
No equilíbrio, somam-se empuxos e tensão para equilibrar o peso:
Passo 4
Igualando as duas expressões para
(elas cancelam o fator
):
Logo
Como
, substituindo
,
e
:
Resposta
A densidade da bola de baixo deve ser aproximadamente
.