( \mathbf{2 , 5} pontos) Duas bolas estão presas uma a outra por um fio curto de massa desprezível. A de cima, de cortiça, com raio 10 cm e densidade 0,2 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} flutua sobre uma camada de óleo, de densidade 0,92 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}, com metade do volume submersa. Qual deve ser a densidade da bola de baixo para que apenas 1 / 3 de seu volume fique subemerso na água. O raio da bola de baixo vale 15 cm . Considere a densidade da água como 1 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}.

Passo 1

O enunciado mostra duas esferas ligadas por um fio de massa desprezível. A esfera de cima é de cortiça, com raio R_c=10\\ \mathrm{cm} e densidade \rho_c=0,2\\ \mathrm{g/cm^3}, flutuando no óleo \rho_o=0,92\\ \mathrm{g/cm^3} com metade do seu volume submerso. A esfera de baixo tem raio R_b=15\\ \mathrm{cm} e densidade \rho_b desconhecida, e flutua na interface óleo-água \rho_w=1\\ \mathrm{g/cm^3} de forma que apenas um terço do seu volume está submerso na água (os outros dois terços estão no óleo).
Para resolver, vamos usar:
1. Princípio de Arquimedes para cada esfera (força de empuxo igual ao peso do fluido deslocado).
2. Equilíbrio de forças (sumatório das forças =0) para determinar a tensão no fio e a densidade \rho_b.

Passo 2

Equilíbrio da esfera de cortiça (esfera de cima).
  • Volume total da cortiça:
V_c = \tfrac{4}{3}\pi R_c^3.
  • Metade do volume está submersa no óleo, então o empuxo vale
E_c = \tfrac12\,V_c\,\rho_o\,g.
  • Peso da cortiça:
P_c = V_c\,\rho_c\,g.
- Tensão no fio T equilibra empuxo menos peso:
E_c - P_c - T = 0 \quad\Longrightarrow\quad T = E_c - P_c = g\,V_c\Bigl(\tfrac12\,\rho_o - \rho_c\Bigr).

Passo 3

Equilíbrio da esfera de baixo.
  • Volume total V_b = \tfrac{4}{3}\pi R_b^3.
  • Volume submerso em água: V_{w}= \tfrac13\,V_b.
  • Volume submerso em óleo: V_{o} = V_b - V_{w} = \tfrac23\,V_b.
  • Empuxo da água:
E_w = V_{w}\,\rho_w\,g = \tfrac13\,V_b\,\rho_w\,g.
  • Empuxo do óleo:
E_o = V_{o}\,\rho_o\,g = \tfrac23\,V_b\,\rho_o\,g.
  • Peso da esfera de baixo:
P_b = V_b\,\rho_b\,g.
No equilíbrio, somam-se empuxos e tensão para equilibrar o peso:
E_w + E_o + T - P_b = 0 \quad\Longrightarrow\quad T = P_b - (E_w+E_o) = g\,V_b\Bigl(\rho_b - \tfrac13\,\rho_w - \tfrac23\,\rho_o\Bigr).

Passo 4

Igualando as duas expressões para T (elas cancelam o fator g):
V_c\Bigl(\tfrac12\,\rho_o - \rho_c\Bigr) = V_b\Bigl(\rho_b - \tfrac13\,\rho_w - \tfrac23\,\rho_o\Bigr).
Logo
\rho_b = \frac{V_c}{V_b}\Bigl(\tfrac12\,\rho_o - \rho_c\Bigr) \;+\;\tfrac13\,\rho_w + \tfrac23\,\rho_o.
Como V_c/V_b=(R_c/R_b)^3=(10/15)^3=1000/3375\approx0,2963, substituindo \rho_o=0,92, \rho_c=0,2 e \rho_w=1:
\rho_b \approx 0,2963\,(0,5\cdot0,92-0,2) + \tfrac13\cdot1 + \tfrac23\cdot0,92 \approx 1,024\\ \mathrm{g/cm^3}.

Resposta

A densidade da bola de baixo deve ser aproximadamente 1,024\\ \mathrm{g/cm^3}.

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