QUESTÃO 2: Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \operatorname{sen}\left(1+\frac{1}{2 x}\right)^{3 x}

Passo 1

O enunciado pede \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\operatorname{sen}\bigl((1+\tfrac{1}{2x})^{3x}\bigr).
Para resolver, vamos primeiro encontrar o limite do interior \displaystyle u(x)=(1+\tfrac{1}{2x})^{3x}
usando o clássico \displaystyle(1+\tfrac{1}{x})^x\to e,
e depois aplicar a continuidade de \operatorname{sen}.

Passo 2

Defina
u(x) = \bigl(1+\tfrac{1}{2x}\bigr)^{3x}
e examine seu logaritmo:
\ln u(x) = 3x\,\ln\!\Bigl(1+\tfrac{1}{2x}\Bigr).
Para x\to+\infty, use a expansão
\ln\!\Bigl(1+\tfrac{1}{2x}\Bigr) = \tfrac{1}{2x} + O(x^{-2}).
Logo
\ln u(x) = 3x\Bigl(\tfrac{1}{2x} + O(x^{-2})\Bigr) = \tfrac{3}{2} + O(x^{-1}),
que implica
u(x)\;\longrightarrow\;e^{3/2}.

Passo 3

Como \operatorname{sen} é contínua em todo \mathbb{R}, vale
\lim_{x\to+\infty}\operatorname{sen}\bigl(u(x)\bigr) = \operatorname{sen}\!\Bigl(\lim_{x\to+\infty}u(x)\Bigr) = \operatorname{sen}\bigl(e^{3/2}\bigr).

Resposta

\displaystyle \operatorname{sen}\bigl(e^{3/2}\bigr)

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