QUESTÃO 2: Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{-x}-e^{x}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to -\infty}\frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{-x}-e^{x}}
Aqui o conteúdo é comportamento da função exponencial em infinidades: quando x\to -\infty, e^{x}\to0 e e^{-x}\to+\infty. Vamos usar essas propriedades para simplificar a expressão.

Passo 2

Para isolar as grandezas dominantes, dividimos numerador e denominador por e^{-x}, pois é o termo que cresce mais quando x\to -\infty. Assim:
\frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{-x}-e^{x}} =\frac{\displaystyle\frac{e^{x}}{e^{-x}}+\frac{e^{-x}}{e^{-x}}}{\displaystyle\frac{e^{-x}}{e^{-x}}-\frac{e^{x}}{e^{-x}}} =\frac{e^{2x}+1}{1-e^{2x}}.

Passo 3

Agora, quando x\to -\infty, temos e^{2x}\to0. Substituindo em
\frac{e^{2x}+1}{1-e^{2x}}
vem
\frac{0+1}{1-0}=1.

Resposta

1

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