Questão 3. Use o método dos discos para determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo dos y, da região R delimitada pelos gráficos das seguintes equações:
x=y-y^2, x=0 ao redor do eixo dos y.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo dos y a região R limitada por x=y-y^2 e x=0. O conteúdo é o método dos discos (ou “washers”), com fatias transversais perpendiculares ao eixo de rotação, de espessura dy.

Passo 2

Para encontrar os limites em y, achamos onde y-y^2=0.
y-y^2 = y(1-y)=0
Então as interseções ocorrem em y=0 e em y=1. Logo a região varia de y=0 a y=1.

Passo 3

Ao girar em torno do eixo dos y, cada disco de altura dy tem raio externo
R(y)=xmáx=y-y^2 á
e não há raio interno (é zero porque a borda interna é o próprio eixo y). Pelo método dos discos,
V = pi integral0^1 l(R(y)r)^2 ,dy = pi integral0^1 (y - y^2)^2 ,dy

Passo 4

Expandimos o integrando:
(y - y^2)^2 = y^2 - 2y^3 + y^4
Logo
integral0^1 (y - y^2)^2 ,dy = integral0^1 l(y^2 - 2y^3 + y^4r),dy

Passo 5

Integramos termo a termo:
integral0^1 y^2,dy = 1^33, integral0^1 2y^3,dy = 2cdot1^44, integral0^1 y^4,dy = 1^55
Portanto,
integral0^1 (y^2 - 2y^3 + y^4),dy = l[y^33-2y^44+y^55r]0^1 = 13-12+15 = 130

Passo 6

Substituindo de volta em V:
V = pi cdot 130 = pi30

Resposta

pi30

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