Mostre que os seguintes limites não existem:
lim (x, y) (0,0) x^2+yx^4+3 y^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
f(x,y)=x^2+yx^4+3y^2
não possui limite quando (x,y)to(0,0). O conteúdo aqui é limite de funções de duas variáveis e vamos usar o método de caminhos diferentes.

Passo 2

Considere o caminho y=-x^2. Substituindo em f:
f(x,-x^2) =x^2-x^2x^4+3(x^2)^2 =0x^4+3x^4 =04x^4 =0
Logo, ao longo de y=-x^2 temos
limxto0f(x,-x^2)=0

Passo 3

Agora considere o caminho y=0. Neste caso
f(x,0)=x^2+0x^4+3cdot0^2 =x^2x^4 =1x^2
Quando xto0, tfrac1x^2to+infty. Então ao longo de y=0
limxto0f(x,0)=+infty

Passo 4

Vimos que por um caminho o limite vale 0 e por outro é +infty. Como não há um valor único independente do caminho, concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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