Mostre que os seguintes limites não existem:
lim (x, y) (0,0) x^4+y^2x^2 y+2 x^4

Passo 1

O enunciado pede que mostremos que
lim(x,y)to(0,0)x^4+y^2x^2y+2x^4
não existe. O conteúdo aqui é o critério de limites em várias variáveis via trajetórias: se ao aproximar de (0,0) por duas curvas diferentes o valor da função tender a dois números distintos, concluímos que o limite não existe.

Passo 2

Escolhemos uma família de trajetórias do tipo
y = t,x^2,
onde t é um parâmetro real fixo. Substituindo em x^4+y^2x^2y+2x^4, temos
num = x^4 + (t,x^2)^2 = x^4 + t^2x^4 = x^4(1 + t^2),
den = x^2(t,x^2) + 2x^4 = x^4(t + 2)
Logo, ao longo de y = t,x^2,
x^4+y^2x^2y+2x^4 = x^4(1 + t^2)x^4(t + 2) = 1 + t^2t + 2,
desde que t + 2neq0.

Passo 3

Agora observamos que o valor tfrac1 + t^2t + 2 depende de t. Por exemplo:
  • Para t=0, obtemos 1+00+2=tfrac12.
  • Para t=1, obtemos 1+11+2=tfrac23.
Como dois caminhos distintos dão limites diferentes, a função não pode tender a um único valor quando (x,y)to(0,0).

Resposta

O limite não existe.

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