Mostre que os seguintes limites não existem:
Passo 1
O enunciado pede que mostremos que
não existe. O conteúdo aqui é o critério de limites em várias variáveis via trajetórias: se ao aproximar de
por duas curvas diferentes o valor da função tender a dois números distintos, concluímos que o limite não existe.
Passo 2
Escolhemos uma família de trajetórias do tipo
onde
é um parâmetro real fixo. Substituindo em
, temos
Logo, ao longo de
,
desde que
.
Passo 3
Agora observamos que o valor
depende de
. Por exemplo:
- Para
, obtemos . - Para
, obtemos .
Como dois caminhos distintos dão limites diferentes, a função não pode tender a um único valor quando
.
Resposta
O limite não existe.