Encontre a derivada da função dada usando a definição.
f(x)=1,5 x^2-x+31

Passo 1

O enunciado pede calcular a derivada de f(x)=1,5x^2 - x + 31 usando a definição de derivada
f'(x) = limhto0 f(x+h)-f(x)h
Para isso, vamos primeiro obter f(x+h) e depois montar o quociente incremental.

Passo 2

Expandindo f(x+h):
f(x+h) = 1,5,(x+h)^2 - (x+h) + 31 = 1,5,(x^2 + 2xh + h^2) - x - h + 31
Distribuindo os termos:
f(x+h) = 1,5x^2 + 3xh + 1,5h^2 - x - h + 31

Passo 3

Calculando a diferença f(x+h)-f(x):
f(x+h)-f(x) = l(1,5x^2 + 3xh + 1,5h^2 - x - h + 31r) - l(1,5x^2 - x + 31r)
Cancelando 1,5x^2, -x e 31, vem
f(x+h)-f(x) = 3xh + 1,5h^2 - h

Passo 4

Montando o quociente incremental e simplificando:
f(x+h)-f(x)h = 3xh + 1,5h^2 - hh = 3x + 1,5h - 1

Passo 5

Tomando o limite quando hto0:
f'(x) = limhto0l(3x + 1,5h - 1r) = 3x - 1

Resposta

f'(x)=3x-1

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