Mostre que os seguintes limites não existem:
lim (x, y) (0,0) x^2 y e^yx^4+4 y^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o limite
lim(x,y)to(0,0) x^2y,e^yx^4+4y^2
não existe. O assunto é limites de funções de duas variáveis e nós vamos usar a ideia de que, se o limite existisse, o valor ao aproximar por qualquer trajetória teria de ser o mesmo.

Passo 2

A condição básica para existir lim(x,y)to(0,0)f(x,y) é que, ao aproximar (x,y) de (0,0) por qualquer curva, o valor de f(x,y) tenda ao mesmo número. Se acharmos duas trajetórias que dão resultados diferentes, concluímos que o limite não existe.

Passo 3

Escolhemos a família de curvas definida por y=k,x^2, com k constante. Substituindo em f(x,y):
fl(x,kx^2r) =x^2,(k,x^2),e^,k,x^2x^4+4,(k,x^2)^2 =k,x^4,e^k x^2x^4l(1+4k^2r) =k,e^k x^21+4k^2
Quando xto0, temos e^k x^2to1, logo
limxto0fl(x,kx^2r) =k1+4k^2

Passo 4

Note que esse valor depende de k. Por exemplo:
  • Se k=0, então lim f(x,0)=0.
  • Se k=1, então lim fl(x,x^2r)=11+4=15.
Como 0neq15, os limites por essas duas trajetórias são distintos.

Passo 5

Como ao aproximar (0,0) por curvas diferentes o limite assume valores diferentes, concluímos que o limite original não existe.

Resposta

O limite não existe.

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