Mostre que os seguintes limites não existem:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o limite
não existe. O assunto é limites de funções de duas variáveis e nós vamos usar a ideia de que, se o limite existisse, o valor ao aproximar por qualquer trajetória teria de ser o mesmo.
Passo 2
A condição básica para existir
é que, ao aproximar
de
por qualquer curva, o valor de
tenda ao mesmo número. Se acharmos duas trajetórias que dão resultados diferentes, concluímos que o limite não existe.
Passo 3
Escolhemos a família de curvas definida por
, com
constante. Substituindo em
:
Quando
, temos
, logo
Passo 4
Note que esse valor depende de
. Por exemplo:
- Se
, então . - Se
, então .
Como
, os limites por essas duas trajetórias são distintos.
Passo 5
Como ao aproximar
por curvas diferentes o limite assume valores diferentes, concluímos que o limite original não existe.
Resposta
O limite não existe.