Mostre as seguintes propriedades do Gradiente: Se
e
são funções de
e
é uma constante real, então:
com
em todos os pontos.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas as funções
com
em todo ponto e usando a definição de gradiente, vale
Para isso vamos reescrever
como produto de
por
e aplicar a regra do produto junto com a regra da cadeia.
Passo 2
Reescrevemos
Ou seja, definimos
h(x)=l(g(x)r)^-1 . Sabemos que a regra do produto para gradiente é
Logo, só falta calcular
nabla h .
Passo 3
Note que
h(x)=phil(g(x)r) onde
phi(t)=1/t . Como
phi'(t)=-1/t^2 , a regra da cadeia em cada componente dá
Passo 4
Agora aplicamos a regra do produto:
Colocando sobre o mesmo denominador
g^2 , obtemos