Mostre as seguintes propriedades do Gradiente: Se f e g são funções de R^n R e c é uma constante real, então:
nabla(fg)=g nabla f-f nabla gg^2 com g neq 0 em todos os pontos.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas as funções f,gcolonR^ntoR com g(x)neq0 em todo ponto e usando a definição de gradiente, vale
nabla!gl(fggr) =g,nabla f - f,nabla gg^2
Para isso vamos reescrever f/g como produto de f por g^-1 e aplicar a regra do produto junto com a regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevemos
f(x)g(x) = f(x);underbracel(g(x)r)^-1h(x)
Ou seja, definimos h(x)=l(g(x)r)^-1. Sabemos que a regra do produto para gradiente é
nablal(f,hr) = h,nabla f + f,nabla h
Logo, só falta calcular nabla h.

Passo 3

Note que h(x)=phil(g(x)r) onde phi(t)=1/t. Como phi'(t)=-1/t^2, a regra da cadeia em cada componente dá
nabla h(x) =phi'l(g(x)r),nabla g(x) =-1l(g(x)r)^2,nabla g(x)

Passo 4

Agora aplicamos a regra do produto:
nabla!l(f,hr) = h,nabla f + f,nabla h =1g,nabla f +fl(-1g^2,nabla gr) =1g,nabla f - fg^2,nabla g
Colocando sobre o mesmo denominador g^2, obtemos
nabla!gl(fggr) =g,nabla f - f,nabla gg^2

Resposta

nabla!gl(fggr) =g,nabla f - f,nabla gg^2

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