Mostre as seguintes propriedades do Gradiente: Se f e g são funções de R^n R e c é uma constante real, então:
nabla(c f)=c nabla f;

Passo 1

O enunciado pede para provar que o operador gradiente é homogêneo em relação a multiplicação por escalar. Mais precisamente, dado fcolonR^ntoR de classe C^1 e cinR, mostrar que
nabla(c,f)=c,nabla f
Para isso vamos usar a definição do gradiente em termos de derivadas parciais e a regra de derivação de uma constante vezes função.

Passo 2

Lembrando a definição de gradiente, para cada ponto xinR^n temos
nabla f(x) = l(partial fpartial x1(x),,partial fpartial x2(x),,dots,,partial fpartial xn(x)r)

Passo 3

Vamos calcular a j-ésima componente de nabla(c,f). Usando a regra da derivada de constante vezes função, para j=1,dots,n:
partialpartial xjl(c,f(x)r) = c,partial fpartial xj(x)

Passo 4

Como isso vale para toda componente j, o vetor gradiente fica
nablal(c,fr)(x) = l(c,tfracpartial fpartial x1(x),,dots,,c,tfracpartial fpartial xn(x)r) = c, l(tfracpartial fpartial x1(x),,dots,,tfracpartial fpartial xn(x)r) = c,nabla f(x)

Resposta

nabla(c,f)=c,nabla f

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