Mostre as seguintes propriedades do Gradiente: Se
e
são funções de
e
é uma constante real, então:
;
Passo 1
O enunciado pede para provar que o operador gradiente é homogêneo em relação a multiplicação por escalar. Mais precisamente, dado
de classe
e
, mostrar que
Para isso vamos usar a definição do gradiente em termos de derivadas parciais e a regra de derivação de uma constante vezes função.
Passo 2
Lembrando a definição de gradiente, para cada ponto
temos
Passo 3
Vamos calcular a
-ésima componente de
. Usando a regra da derivada de constante vezes função, para
:
Passo 4
Como isso vale para toda componente
, o vetor gradiente fica