Mostre as seguintes propriedades importantes da divisibilidade
Se d mid(b+a) ou d mid(b-a) e d mid a, então d mid b.

Passo 1

O enunciado pede para provar duas coisas sobre divisibilidade, usando a definição: dado um inteiro dneq0, dizemos que dmid x se existe um inteiro k tal que x = k,d. Vamos aplicar essa definição nos casos (i) dmid(b+a) e dmid a e (ii) dmid(b-a) e dmid a, e mostrar em cada caso que dmid b.

Passo 2

Caso (i): suponha que
dmid(b+a)e dmid a
Pela definição, existem inteiros m e n tais que
b + a = m,d, a = n,d

Passo 3

Compute b subtraindo a de b+a:
b = (b+a) - a = m,d - n,d = (m - n),d
Como m-n é inteiro, concluímos que dmid b no caso (i).

Passo 4

Caso (ii): suponha que
dmid(b - a)e dmid a
Então existem inteiros p e n tais que
b - a = p,d, a = n,d

Passo 5

Compute b somando a a b-a:
b = (b - a) + a = p,d + n,d = (p + n),d
Como p+n é inteiro, segue que dmid b no caso (ii).

Resposta

Prova completada: em ambos os casos, a partir de dmid(bpm a) e dmid a chegamos a ;dmid b.

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