Mostre as seguintes propriedades importantes da divisibilidade
Se
ou
e
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para provar duas coisas sobre divisibilidade, usando a definição: dado um inteiro
, dizemos que
se existe um inteiro
tal que
. Vamos aplicar essa definição nos casos (i)
e
e (ii)
e
, e mostrar em cada caso que
.
Passo 2
Caso (i): suponha que
Pela definição, existem inteiros
e
tais que
Passo 3
Compute
subtraindo
de
:
Como
é inteiro, concluímos que
no caso (i).
Passo 4
Caso (ii): suponha que
Então existem inteiros
e
tais que
Passo 5
Compute
somando
a
:
Como
é inteiro, segue que
no caso (ii).
Resposta
Prova completada: em ambos os casos, a partir de
e
chegamos a
.