Calcule cada um dos limites
lim x infty(xx-2)^x

Passo 1

O problema pede
limxtoinftyl(xx-2r)^x
Este é um limite do tipo exponencial infinito sobre infinito, onde normalmente aplicamos transformada logarítmica e usamos o fato de que
l(1+tfracaxr)^xto e^a

Passo 2

Reescrevendo a base em função de 1-tfrac2x:
xx-2 = 11-tfrac2x =l(1-tfrac2xr)^-1
Logo
l(xx-2r)^x =l(1-tfrac2xr)^-x

Passo 3

Definindo
L=limxtoinftyl(1-tfrac2xr)^-x,
é mais fácil estudar ln L:
ln L =limxtoinftyl[-xlnl(1-tfrac2xr)r]

Passo 4

Para calcular limxtoinfty-xln(1-2/x), note que tanto o numerador
-ln(1-2/x) quanto o denominador tfrac1x vão a zero. Usando a forma de razão e a regra de l’Hôpital:
ln L =limxtoinfty-ln(1-tfrac2x)tfrac1x oversetH= limxtoinfty -l(11-2/xcdot2x^2r)-1/x^2 =limxtoinfty21-2/x =2

Passo 5

Como ln L=2, temos L=e^2.

Resposta

e^2

Exercícios relacionados