Mostre que as seguintes sequências de funções convergem pontualmente e determine, em cada caso, se a convergência é uniforme no domínio dado. Justifique sua resposta.
fn: R R, fn(x)=arctan (n x)

Passo 1

O enunciado pede para a sequência de funções fn:RtoR, definida por fn(x)=arctan(nx), convergir pontualmente e verificar se essa convergência é uniforme em R. Vamos usar conceitos de limites pontuais e o critério de convergência uniforme via supremo da diferença.

Passo 2

Para cada xinR fixo temos: se x>0, então nxto+infty quando ntoinfty e arctan(nx)totfracpi2; se x<0, então nxto-infty e arctan(nx)to-tfracpi2; e se x=0, claramente arctan(0)=0. Portanto a convergência pontual é para a função
f(x)=limntoinftyfn(x)= tfracpi2,&x>0, 0,&x=0, -tfracpi2,&x<0

Passo 3

Para testar uniformidade, calculamos o supremo da diferença |fn-f|infty=supxinR|arctan(nx)-f(x)|. Note que, por exemplo para x>0,
|arctan(nx)-f(x)|=pi2-arctan(nx), e quando xto0^+ fica pi2-arctan(nx)topi2. Logo
supxinR|fn(x)-f(x)|=pi2,

Passo 4

que não tende a zero quando ntoinfty. Portanto a convergência NÃO é uniforme em R.

Resposta

A sequência converge pontualmente para f(x)=tfracpi2&x>0,0&x=0,-tfracpi2&x<0 A convergência não é uniforme em R.

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