Mostre que as seguintes sequências de funções convergem pontualmente e determine, em cada caso, se a convergência é uniforme no domínio dado. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para a sequência de funções , definida por , convergir pontualmente e verificar se essa convergência é uniforme em . Vamos usar conceitos de limites pontuais e o critério de convergência uniforme via supremo da diferença.
Passo 2
Para cada fixo temos: se , então quando e ; se , então e ; e se , claramente . Portanto a convergência pontual é para a função
Passo 3
Para testar uniformidade, calculamos o supremo da diferença |fn-f|infty=supxinR|arctan(nx)-f(x)|. Note que, por exemplo para x>0,
|arctan(nx)-f(x)|=pi2-arctan(nx), e quando xto0^+ fica pi2-arctan(nx)topi2. Logo
supxinR|fn(x)-f(x)|=pi2,
Passo 4
que não tende a zero quando ntoinfty. Portanto a convergência NÃO é uniforme em R.
Resposta
A sequência converge pontualmente para f(x)=tfracpi2&x>0,0&x=0,-tfracpi2&x<0 A convergência não é uniforme em R.