Seja V o espaço vetorial real de todas as funções de R em R. Quais dos seguintes conjuntos de funções são subespaços de V ?
de todas as funções f tais que f(-1)=0.

Passo 1

O enunciado define V como o espaço vetorial real de todas as funções de R em R e pede para verificar se o conjunto
S = ,fin V mid f(-1)=0
é um subespaço de V. Para isso, vamos usar o critério usual:
  1. S não pode estar vazio (deve conter a função zero).
  2. S deve ser fechado sob soma de funções.
  3. S deve ser fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 2

Verificar se a função zero ,f0(x)=0 está em S.
f0(-1)=0
Logo, f0in S e o conjunto não é vazio.

Passo 3

Verificar fechamento sob soma.
Sejam f,gin S. Então
(f+g)(-1)=f(-1)+g(-1)=0+0=0
Como (f+g)(-1)=0, temos f+gin S.

Passo 4

Verificar fechamento sob multiplicação por escalar.
Seja fin S e alphainR. Então
(alpha f)(-1)=alphacdot f(-1)=alphacdot 0=0
Logo alpha fin S.

Resposta

O conjunto ,fin V mid f(-1)=0 é, de fato, um subespaço de V.

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