Seja
o espaço vetorial real de todas as funções de
em
. Quais dos seguintes conjuntos de funções são subespaços de
?
de todas as funções
tais que
.
de todas as funções
Passo 1
O enunciado define
como o espaço vetorial real de todas as funções de
em
e pede para verificar se o conjunto
é um subespaço de
. Para isso, vamos usar o critério usual:
-
não pode estar vazio (deve conter a função zero). -
deve ser fechado sob soma de funções. -
deve ser fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 2
Verificar se a função zero
está em
.
Logo,
e o conjunto não é vazio.
Passo 3
Verificar fechamento sob soma.
Sejam . Então
Sejam
Como
, temos
.
Passo 4
Verificar fechamento sob multiplicação por escalar.
Seja e
. Então
Seja
Logo
.
Resposta
O conjunto
é, de fato, um subespaço de
.