Considere a transformação linear T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)= (-x, y-z, x). Em seguida,
Determine uma base do núcleo de T

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear Tcolon R^3toR^3 definida por
T(x,y,z)=(-x,;y - z,;x),
e pede uma base do núcleo de T. Para isso, precisamos encontrar todos os vetores (x,y,z) tais que T(x,y,z)=(0,0,0).

Passo 2

Igualando T(x,y,z) ao vetor nulo, obtemos o sistema
-x = 0, y - z = 0, x = 0

Passo 3

Da primeira e da terceira equações segue imediatamente
x = 0
Da segunda equação temos
y - z = 0 Longrightarrow y = z

Passo 4

Portanto todo vetor no núcleo pode ser escrito como
(x,y,z) = (0,;z,;z) = z,(0,1,1),
onde zinR. Logo o núcleo é o subespaço gerado por (0,1,1).

Resposta

Uma base de ker T é
(0,1,1)

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