Mostre que as seguintes transformações são lineares :
T: R^3 longrightarrow R^2 definida por T(x, y, z)=(-x, 2 y+z)

Passo 1

O enunciado define a transformação Tcolon R^3 to R^2 por
T(x,y,z)=(-x,;2y+z),
e pede para mostrarmos que T é linear. Para isso, vamos usar a definição: uma transformação é linear se preserva soma de vetores e multiplicação por escalar.

Passo 2

Lembrando a definição de linearidade, T é linear se, para quaisquer vetores u,vinR^3 e qualquer escalar alphainR, valem:
T(u+v)=T(u)+T(v),
T(alpha,u)=alpha,T(u)

Passo 3

Verificação da propriedade aditiva. Seja
u=(x1,y1,z1), v=(x2,y2,z2)
Então
u+v=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2)
e
T(u+v)=l(-(x1+x2),;2(y1+y2)+(z1+z2)r) =l(-x1-x2,;2y1+2y2+z1+z2r)
Por outro lado,
T(u)=(-x1,;2y1+z1), T(v)=(-x2,;2y2+z2),
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T(u)+T(v) =l(-x1-x2,;(2y1+z1)+(2y2+z2)r) =l(-x1-x2,;2y1+2y2+z1+z2r)
Portanto T(u+v)=T(u)+T(v).

Passo 4

Verificação da propriedade homogênea. Seja alphainR e u=(x1,y1,z1). Então
alpha,u=(alpha x1,;alpha y1,;alpha z1)
e
T(alpha,u) =l(-alpha x1,;2(alpha y1)+(alpha z1)r) =l(alpha(-x1),;alpha(2y1+z1)r) =alpha,(-x1,;2y1+z1) =alpha,T(u)

Passo 5

Como mostramos as duas propriedades — soma preservada e escalar puxado para fora — concluímos que T é linear.

Resposta

A transformação T(x,y,z)=(-x,2y+z) é linear.

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