Mostre que as seguintes transformações são lineares :
definida por
Passo 1
O enunciado define a transformação
por
e pede para mostrarmos que
é linear. Para isso, vamos usar a definição: uma transformação é linear se preserva soma de vetores e multiplicação por escalar.
Passo 2
Lembrando a definição de linearidade,
é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, valem:
Passo 3
Verificação da propriedade aditiva. Seja
Então
e
Por outro lado,
logo
Portanto
.
Passo 4
Verificação da propriedade homogênea. Seja
e
. Então
e
Passo 5
Como mostramos as duas propriedades — soma preservada e escalar puxado para fora — concluímos que
é linear.
Resposta
A transformação
é linear.