P 10.4. Como já foi demonstrado na devida altura, o determinante de uma ma triz An times n é invariante por transformações de semelhança, isto é, se B=S^-1 A S, então det(A)=det(B). Deduza, de forma análoga ao problema anterior, que det(A)=prodi=1^n lambdai, onde lambdai, i=1, cdots, n são os valores próprios de A incluindo multiplicidades.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma matriz quadrada A de ordem n, vale
det(A)=prodi=1^nlambdai,
onde lambda1,dots,lambdan são os valores próprios de A (contando multiplicidades). Sabemos que o determinante é invariante por similaridade e vamos usar uma forma canônica de A (triangular ou de Jordan) para extrair os próprios na diagonal.

Passo 2

Como o corpo base é algébrica e toda matriz finita admite forma de Jordan (ou ao menos triangularização superior pelo Teorema de Schur), existe uma matriz invertível S tal que
J ;=;S^-1 A S
é uma matriz triangular superior (ou a forma de Jordan) cujo bloco diagonal principal contém exatamente os valores próprios lambda1,dots,lambdan de A, respeitando suas multiplicidades.

Passo 3

Pela invariância do determinante sob transformações de similaridade, temos
det(A)=detl(S,J,S^-1r)=det(S),det(J),det(S^-1) =det(J),
pois det(S)det(S^-1)=1.

Passo 4

Como J é triangular superior, seu determinante é o produto de todos os elementos da diagonal principal. Mas esses elementos são exatamente lambda1,dots,lambdan. Logo,
det(J)=prodi=1^nlambdai

Resposta

det(A)=prodi=1^nlambdai

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