P 10.4. Como já foi demonstrado na devida altura, o determinante de uma ma
é invariante por transformações de semelhança, isto é, se
, então
. Deduza, de forma análoga ao problema anterior, que
, onde
são os valores próprios de
incluindo multiplicidades.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para uma matriz quadrada
de ordem
, vale
onde
são os valores próprios de
(contando multiplicidades). Sabemos que o determinante é invariante por similaridade e vamos usar uma forma canônica de
(triangular ou de Jordan) para extrair os próprios na diagonal.
Passo 2
Como o corpo base é algébrica e toda matriz finita admite forma de Jordan (ou ao menos triangularização superior pelo Teorema de Schur), existe uma matriz invertível
tal que
é uma matriz triangular superior (ou a forma de Jordan) cujo bloco diagonal principal contém exatamente os valores próprios
de
, respeitando suas multiplicidades.
Passo 3
Pela invariância do determinante sob transformações de similaridade, temos
pois
.
Passo 4
Como
é triangular superior, seu determinante é o produto de todos os elementos da diagonal principal. Mas esses elementos são exatamente
. Logo,