P 10.5. Dada uma matriz An times n, defina formalmente para t in R
e^A t=I+A t+A^2 t^22!+cdots+A^n t^nn!+cdots=sumn=0^infty A^n t^nn!
ignorando de momento questões de convergência.
a) Sendo J a Forma Canónica de Jordan de A (isto é, tal que J=S^-1 A S ), mostre que
e^A t=S e^J t S^-1
b) Para as matrizes A1 e A2 do problema 10.1, calcule desta forma e^A1 t e e^A2 t (Nota: observe que em ambos os casos já calculou S, e que e^J t é (quase) trivial de calcular!)

Passo 1

O enunciado define a exponencial de matriz
e^A t ;=;sumn=0^inftyA^nt^nn!
e pede dois itens:
  • (a) mostrar que, se J=S^-1AS é a forma de Jordan de A, então e^A t=S,e^Jt,S^-1
  • (b) usar esse fato para calcular e^A1t e e^A2t para duas matrizes dadas em 10.1.
    Para (a) vamos usar a propriedade de similaridade de potências de A.

Passo 2

Como J=S^-1AS, temos
A = S,J,S^-1 Longrightarrow A^n = (SJS^-1)^n = S,J^n,S^-1 para todo n>=0
Assim, ao expandir a série de e^A t e substituir A^n por S,J^n,S^-1, obtemos
e^A t =sumn=0^inftyA^nt^nn! =sumn=0^inftyS,J^nS^-1,t^nn! =S!l(sumn=0^inftyJ^nt^nn!r)S^-1 =S,e^Jt,S^-1

Passo 3

Para o item (b) precisaríamos dos dados explícitos de A1, A2 e das respectivas matrizes de passagem S calculadas no problema 10.1. Esses valores não foram fornecidos aqui, logo não há informações suficientes para escrever as matrizes e^A1t e e^A2t.

Resposta

a) e^A t=S,e^Jt,S^-1
b) Sem os dados das matrizes A1, A2 e das suas matrizes de passagem, não é possível calcular e^A1t e e^A2t.

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