(1,0) Mostre que:
seja n um inteiro ímpar tal que n \mid(a+b) e n \mid(a-b), então n \mid m d c(a, b).

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados:
    • n é um inteiro ímpar.
    • n \mid (a+b).
    • n \mid (a-b).
  • Pedido:
    • Mostrar que n \mid \operatorname{mdc}(a,b).
Aqui anotei claramente as hipóteses e a conclusão desejada. Nada mais será pedido nem assumido.

Passo 2

Usar as hipóteses para obter divisibilidades úteis.
Se n \mid (a+b) e n \mid (a-b), somando essas duas divisibilidades obtemos
n \mid (a+b)+(a-b).
Como a soma é 2a, segue que
n \mid 2a.
Subtraindo as duas divisibilidades obtemos
n \mid (a+b)-(a-b).
Como a diferença é 2b, segue que
n \mid 2b.
Resumindo até aqui: n \mid 2a e n \mid 2b.

Passo 3

Explorar o fato de que n é ímpar.
Por hipótese n é ímpar, isto significa que 2 não divide n. Logo
\gcd(n,2)=1.
Isso será fundamental para “tirar” o fator 2 das divisibilidades n\mid 2a e n\mid 2b.

Passo 4

Lema útil (e sua prova curta): se d\mid xy e \gcd(d,x)=1 então d\mid y.
Prova do lema: como \gcd(d,x)=1, existe a identidade de Bézout: existem inteiros u,v tais que
u d + v x = 1.
Multiplicando por y obtemos
u d y + v x y = y.
Se d\mid xy então d\mid vxy; claramente d\mid udy. Portanto o lado esquerdo é múltiplo de d, logo d\mid y. Isso prova o lema.

Passo 5

Aplicar o lema às nossas divisibilidades para concluir que n divide a e b.
Tomando d=n, x=2, y=a: já sabemos que n\mid 2a e que \gcd(n,2)=1; pelo lema segue n\mid a.
De forma idêntica, com y=b, obtemos n\mid b.
Portanto n divide simultaneamente a e b.

Passo 6

Concluir que n divide \operatorname{mdc}(a,b).
Uma propriedade padrão do máximo divisor comum (que pode ser vista via Bézout) é: se um inteiro d divide a e b então d divide \operatorname{mdc}(a,b). Uma maneira rápida de ver isso é lembrar que existem inteiros s,t tais que
\operatorname{mdc}(a,b)=s a + t b.
Se n\mid a e n\mid b então n divide s a + t b, isto é n\mid \operatorname{mdc}(a,b).

Passo 7

Conclusão final e incentivo.
Reunindo tudo: a partir de n\mid(a+b) e n\mid(a-b) obtivemos n\mid 2a e n\mid 2b; como n é ímpar, \gcd(n,2)=1 e pelo lema isso dá n\mid a e n\mid b; assim n divide \operatorname{mdc}(a,b). Beleza — o raciocínio é curto e direto, ótimo para a prova: soma, diferença, usar que n é ímpar e aplicar Bézout quando precisar “remover” o fator 2. Força nos estudos!

Resposta

\,n \mid \operatorname{mdc}(a,b)\,

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