Mostre que:
seja
um inteiro ímpar tal que
e
, então
.
seja
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados:
-
é um inteiro ímpar. -
. -
.
-
-
Pedido:
- Mostrar que
.
- Mostrar que
Aqui anotei claramente as hipóteses e a conclusão desejada. Nada mais será pedido nem assumido.
Passo 2
Usar as hipóteses para obter divisibilidades úteis.
Se
e
, somando essas duas divisibilidades obtemos
Como a soma é
, segue que
Subtraindo as duas divisibilidades obtemos
Como a diferença é
, segue que
Resumindo até aqui:
e
.
Passo 3
Explorar o fato de que
é ímpar.
Por hipótese
é ímpar, isto significa que
não divide
. Logo
Isso será fundamental para “tirar” o fator
das divisibilidades
e
.
Passo 4
Lema útil (e sua prova curta): se
e
então
.
Prova do lema: como
, existe a identidade de Bézout: existem inteiros
tais que
Multiplicando por
obtemos
Se
então
; claramente
. Portanto o lado esquerdo é múltiplo de
, logo
. Isso prova o lema.
Passo 5
Aplicar o lema às nossas divisibilidades para concluir que
divide
e
.
Tomando
,
,
: já sabemos que
e que
; pelo lema segue
.
De forma idêntica, com
, obtemos
.
Portanto
divide simultaneamente
e
.
Passo 6
Concluir que
divide
.
Uma propriedade padrão do máximo divisor comum (que pode ser vista via Bézout) é: se um inteiro
divide
e
então
divide
. Uma maneira rápida de ver isso é lembrar que existem inteiros
tais que
Se
e
então
divide
, isto é
.
Passo 7
Conclusão final e incentivo.
Reunindo tudo: a partir de
e
obtivemos
e
; como
é ímpar,
e pelo lema isso dá
e
; assim
divide
. Beleza — o raciocínio é curto e direto, ótimo para a prova: soma, diferença, usar que
é ímpar e aplicar Bézout quando precisar “remover” o fator
. Força nos estudos!