Resolva cada item:
determine
e
tais que
, quando:
e
.
determine
Passo 1
O enunciado dá os números
e
e pede para determinar inteiros
e
tais que
Informações relevantes:
- Os valores numéricos fornecidos são
e . - A incógnita é um par de inteiros
que satisfaça a relação de Bézout acima. - Primeiro é necessário calcular
; depois encontrar coeficientes de Bézout (isto é, escrever o como combinação linear de e ).
Passo 2
Vamos calcular
usando o algoritmo de Euclides (divisões sucessivas). Executando as divisões:
Passo 3
Pela propriedade do algoritmo de Euclides, o último resto não nulo é o
. Aqui o último resto não nulo é
. Logo
Passo 4
Agora vamos obter coeficientes
tais que
Fazemos isso por retro-substituição (expressar o resto 2 em termos de
e
). Reescrevendo as equações obtidas no algoritmo para isolar os restos:
Passo 5
Substituímos passo a passo para escrever
em termos de
e
.
Começamos por substituir
na expressão de
:
Como
, temos
Passo 6
Substituímos
em função de
e
(pois
):
Passo 7
Substituímos
em função de
e
(pois
):
Passo 8
Por fim substituímos
em função de
e
(pois
):
Passo 9
Portanto encontramos uma combinação linear:
Isto fornece um par particular de coeficientes de Bézout:
e
.
Passo 10
Comentário didático final e generalização rápida: se
e
é uma solução de
, então todas as soluções inteiras são dadas por
com
. No nosso caso
, então a família de soluções é
pois
e
.