(2,0) Resolva cada item:
determine x_{0} e y_{0} tais que a x_{0}+b y_{0}=m d c(a, b), quando: a=4276 e b=1234.

Passo 1

O enunciado dá os números
a=4276 e b=1234 e pede para determinar inteiros x_{0} e y_{0} tais que
a x_{0}+b y_{0}=\operatorname{mdc}(a,b).
Informações relevantes:
  • Os valores numéricos fornecidos são a=4276 e b=1234.
  • A incógnita é um par de inteiros (x_{0},y_{0}) que satisfaça a relação de Bézout acima.
  • Primeiro é necessário calcular \operatorname{mdc}(4276,1234); depois encontrar coeficientes de Bézout (isto é, escrever o \operatorname{mdc} como combinação linear de a e b).

Passo 2

Vamos calcular \operatorname{mdc}(4276,1234) usando o algoritmo de Euclides (divisões sucessivas). Executando as divisões:
4276 = 1234\cdot 3 + 574
1234 = 574\cdot 2 + 86
574 = 86\cdot 6 + 58
86 = 58\cdot 1 + 28
58 = 28\cdot 2 + 2
28 = 2\cdot 14 + 0

Passo 3

Pela propriedade do algoritmo de Euclides, o último resto não nulo é o \operatorname{mdc}. Aqui o último resto não nulo é 2. Logo
\operatorname{mdc}(4276,1234)=2.

Passo 4

Agora vamos obter coeficientes x_{0},y_{0} tais que
4276\,x_{0}+1234\,y_{0}=2.
Fazemos isso por retro-substituição (expressar o resto 2 em termos de 4276 e 1234). Reescrevendo as equações obtidas no algoritmo para isolar os restos:
574 = 4276 - 1234\cdot 3
86 = 1234 - 574\cdot 2
58 = 574 - 86\cdot 6
28 = 86 - 58\cdot 1
2 = 58 - 28\cdot 2

Passo 5

Substituímos passo a passo para escrever 2 em termos de 4276 e 1234.
Começamos por substituir 28 na expressão de 2:
2 = 58 - 2\cdot 28.
Como 28 = 86 - 58, temos
2 = 58 - 2(86 - 58) = 58 - 2\cdot 86 + 2\cdot 58 = 3\cdot 58 - 2\cdot 86.

Passo 6

Substituímos 58 em função de 574 e 86 (pois 58=574-6\cdot86):
2 = 3(574 - 6\cdot 86) - 2\cdot 86 = 3\cdot 574 - 18\cdot 86 - 2\cdot 86 = 3\cdot 574 - 20\cdot 86.

Passo 7

Substituímos 86 em função de 1234 e 574 (pois 86=1234-2\cdot574):
2 = 3\cdot 574 - 20(1234 - 2\cdot 574) = 3\cdot 574 - 20\cdot 1234 + 40\cdot 574 = 43\cdot 574 - 20\cdot 1234.

Passo 8

Por fim substituímos 574 em função de 4276 e 1234 (pois 574=4276-3\cdot1234):
2 = 43(4276 - 3\cdot 1234) - 20\cdot 1234 = 43\cdot 4276 - 129\cdot 1234 - 20\cdot 1234 = 43\cdot 4276 - 149\cdot 1234.

Passo 9

Portanto encontramos uma combinação linear:
4276\cdot 43 + 1234\cdot (-149) = 2.
Isto fornece um par particular de coeficientes de Bézout: x_{0}=43 e y_{0}=-149.

Passo 10

Comentário didático final e generalização rápida: se d=\operatorname{mdc}(a,b) e (x_{0},y_{0}) é uma solução de a x + b y = d, então todas as soluções inteiras são dadas por
x = x_{0} + \frac{b}{d}\,t,\qquad y = y_{0} - \frac{a}{d}\,t,
com t\in\mathbb{Z}. No nosso caso d=2, então a família de soluções é
x=43 + 617\,t,\qquad y=-149 - 2138\,t,\quad t\in\mathbb{Z},
pois \dfrac{b}{d}=\dfrac{1234}{2}=617 e \dfrac{a}{d}=\dfrac{4276}{2}=2138.

Resposta

x_{0}=43
y_{0}=-149

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