5.2 Mostre que num semicondutor intrínseco, com bandas parabólicas, o nível de Fermi é dado pela Eq.(5.22).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que, em um semicondutor intrínseco com bandas parabólicas, o nível de Fermi é dado por uma certa equação (a Eq.(5.22)). Basicamente, vamos trabalhar com conceitos de semicondutores, entender o que é o nível de Fermi e como as bandas de energia se comportam quando são parabólicas. Vamos precisar usar algumas fórmulas de densidade de estados e entender como igualar a concentração de elétrons e lacunas no material.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um semicondutor intrínseco, o número de elétrons na banda de condução é igual ao número de lacunas na banda de valência. Isso significa que a concentração de elétrons $ n $ é igual à concentração de lacunas $ p $.
Passo 3
Agora, vamos utilizar a expressão para a densidade de estado na banda de condução e na banda de valência, assumindo que as bandas são parabólicas. A densidade de elétrons na banda de condução é dada por:
E a densidade de lacunas na banda de valência é:
Aqui, $ N_c $ e $ N_v $ são as densidades efetivas de estados nas bandas de condução e valência, respectivamente, $ E_c $ e $ E_v $ são as energias das bandas de condução e valência, $ E_F $ é o nível de Fermi, $ k $ é a constante de Boltzmann e $ T $ é a temperatura.
Passo 4
Como $ n = p $ para o semicondutor intrínseco, podemos igualar as duas expressões:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação. Primeiro, dividimos os dois lados por $ N_v $:
Passo 6
Em seguida, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para eliminar as exponenciais:
Passo 7
Agora, vamos reorganizar os termos para isolar $ E_F $:
Passo 8
Multiplicando ambos os lados por $ kT $:
Passo 9
Finalmente, o nível de Fermi $ E_F $ fica no meio entre $ E_c $ e $ E_v $, ajustado pela diferença nas densidades efetivas de estados:
Aqui, $ m_h^* $ e $ m_e^* $ são as massas efetivas das lacunas e dos elétrons, respectivamente.
Resposta
Portanto, mostramos que em um semicondutor intrínseco com bandas parabólicas, o nível de Fermi é dado por