Mostre que, sendo \lambda \neq 0,
\int \frac{d x}{\left(x^{2}+\lambda\right)^{2}}=\frac{x}{2 \lambda\left(x^{2}+\lambda\right)}+\frac{1}{2 \lambda} \int \frac{d x}{x^{2}+\lambda}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para \lambda\neq0, vale a fórmula de redução
\int \frac{dx}{\bigl(x^{2}+\lambda\bigr)^{2}} =\frac{x}{2\,\lambda\,(x^{2}+\lambda)} +\frac{1}{2\,\lambda}\int\frac{dx}{x^{2}+\lambda}.
O conteúdo envolvido é integração de função racional e a ideia é escrever o integrando como derivada de uma fração mais um termo mais simples.

Passo 2

Considere a função
F(x)=\frac{x}{2\,\lambda\,\bigl(x^{2}+\lambda\bigr)}.
Vamos calcular sua derivada usando a regra do quociente. Se u(x)=x e v(x)=2\,\lambda\,(x^{2}+\lambda), então
u'(x)=1, \quad v'(x)=2\,\lambda\cdot2x=4\,\lambda\,x,
logo
F'(x) =\frac{u'\,v - u\,v'}{v^{2}} =\frac{1\cdot2\lambda(x^{2}+\lambda)-x\cdot4\lambda x}{\bigl[2\lambda(x^{2}+\lambda)\bigr]^{2}} =\frac{2\lambda\,(x^{2}+\lambda)-4\lambda x^{2}}{4\lambda^{2}(x^{2}+\lambda)^{2}}.

Passo 3

No numerador note que
2\lambda\,(x^{2}+\lambda)-4\lambda x^{2} =2\lambda\bigl(x^{2}+\lambda-2x^{2}\bigr) =2\lambda\,(\lambda - x^{2}) =-2\lambda\,(x^{2}+\lambda)+2\lambda\cdot2\lambda.
Assim,
F'(x) =\frac{\lambda-x^{2}}{2\lambda\,(x^{2}+\lambda)^{2}} =\frac{-1}{2\lambda\,(x^{2}+\lambda)}+\frac{1}{(x^{2}+\lambda)^{2}}.
Reescrevendo,
\frac{1}{(x^{2}+\lambda)^{2}} =F'(x)+\frac{1}{2\lambda\,(x^{2}+\lambda)}.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em x:
\int \frac{dx}{(x^{2}+\lambda)^{2}} =\int F'(x)\,dx +\int \frac{dx}{2\lambda\,(x^{2}+\lambda)} =F(x)+\frac{1}{2\lambda}\int\frac{dx}{x^{2}+\lambda}.
Substituindo F(x) obtemos exatamente
\int \frac{dx}{\bigl(x^{2}+\lambda\bigr)^{2}} =\frac{x}{2\lambda\,(x^{2}+\lambda)} +\frac{1}{2\lambda}\int\frac{dx}{x^{2}+\lambda}.

Resposta

\boxed{ \int \frac{dx}{\bigl(x^{2}+\lambda\bigr)^{2}} =\frac{x}{2\,\lambda\,(x^{2}+\lambda)} +\frac{1}{2\,\lambda}\int\frac{dx}{x^{2}+\lambda}. }

Exercícios relacionados