Calcule a integral iterada \int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x}} e^{x^{2}+y^{2}} d y d x. Dica: Use coordena olares.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{\sqrt{1-x^2}} e^{x^{2}+y^{2}}\,dy\,dx
(usando coordenadas polares).
O conteúdo aqui é a mudança de variáveis para coordenadas polares, em que
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Precisaremos ainda identificar que a região de integração no plano (x,y) é o quarto de disco de raio 1, ou seja
D = \{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;x^2+y^2\le1\}.

Passo 2

Descrevemos D em coordenadas polares. No primeiro quadrante \theta varia de 0 a \tfrac{\pi}{2} e o raio r vai de 0 a 1. Assim
(x,y)\in D\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} 0\le \theta\le \tfrac{\pi}{2},\\\\ 0\le r\le 1. \end{cases}

Passo 3

Na integral original, x^2+y^2=r^2 e o elemento de área é dx\,dy = r\,dr\,d\theta. Portanto
\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{\sqrt{1-x^2}} e^{x^{2}+y^{2}}\,dy\,dx =\int_{\theta=0}^{\pi/2}\!\int_{r=0}^{1} e^{r^{2}}\;r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calculemos primeiro a integral interna em r. Faça u = r^{2}, então du = 2r\,dr, de modo que
\int_{0}^{1} r\,e^{r^{2}}\,dr =\frac12\int_{u=0}^{1} e^{u}\,du =\frac12\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{1} =\frac{e-1}{2}.

Passo 5

Agora a integral em \theta é trivial:
\int_{0}^{\pi/2} d\theta = \frac{\pi}{2}.
Multiplicando pelos resultados, obtemos
\int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{1} e^{r^{2}}\,r\,dr\,d\theta =\frac{\pi}{2}\,\cdot\frac{e-1}{2} =\frac{\pi\,(e-1)}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi\,(e-1)}{4}

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