Exemplo 16.3. Calcular \int \operatorname{arctg} x d x.
Solução. Faremos u=\operatorname{arctg} x, e d v=d x.
E então \mathrm{d} u=\frac{1}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x, v=x. Daí,
\begin{aligned} \int \operatorname{arctg} x d x & =\int u d v=u v-\int v d u \\\ & =x \cdot \operatorname{arctg} x-\int x \cdot \frac{1}{1+x^{2}} d x \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \operatorname{arctg}x \,dx
e o conteúdo principal aqui é a técnica de integração por partes, que usa a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos as parcelas para integrar por partes:
u = \operatorname{arctg}x, \quad dv = dx.
Logo,
du = \frac{1}{1+x^{2}}\,dx, \quad v = x.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int \operatorname{arctg}x \,dx = u\,v - \int v\,du = x\cdot \operatorname{arctg}x \;-\;\int x\cdot\frac{1}{1+x^{2}}\,dx.

Passo 4

Agora calculamos
\int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx.
Basta notar que a derivada de 1+x^{2} é 2x, então fazemos uma substituição simples:
t = 1 + x^{2} \;\Longrightarrow\; dt = 2x\,dx \;\Longrightarrow\; x\,dx = \tfrac12\,dt.
Assim,
\int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx = \int \frac{1}{t}\,\Bigl(\tfrac12\,dt\Bigr) = \tfrac12 \int \frac{1}{t}\,dt = \tfrac12 \ln|t| + C = \tfrac12 \ln\bigl(1+x^{2}\bigr) + C.

Passo 5

Substituindo de volta no resultado da integração por partes, temos
\int \operatorname{arctg}x \,dx = x\,\operatorname{arctg}x - \tfrac12 \ln\bigl(1+x^{2}\bigr) + C.

Resposta

\boxed{ \int \operatorname{arctg}x \,dx = x\,\operatorname{arctg}x - \tfrac12 \ln\bigl(1+x^{2}\bigr) + C }

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