Ao calcular a integral
, Joãozinho procedeu da seguinte maneira.
Fazendo
, e
, podemos tomar
, e teremos
.
Sendo
, temos então
,
.
Onde está o erro no argumento de Joãozinho?
Onde está o erro no argumento de Joãozinho?
Passo 1
O enunciado pede para identificar o erro no uso da integração por partes aplicado à integral indefinida
Joãozinho fez
,
, obteve
e concluiu que
. Vamos ver onde está a falha: o conteúdo é antiderivadas e a fórmula de integração por partes, lembrando que em indefinidas precisamos sempre do “
C”.
Passo 2
A fórmula de integração por partes para primitivas diz
onde
é a constante de integração. Esse “
C” é fundamental porque toda primitiva está definida apenas a menos de uma constante.
Passo 3
Aplicando corretamente a parte de Joãozinho, teríamos
Ou seja, em vez de
, o resultado correto é
Passo 4
Subtraindo
de ambos os lados dá
ou seja,
. Isso não é absurdo: apenas fixa a constante de integração de modo que
é uma das infinitas primitivas. Portanto, não há contradição.
Resposta
O erro de Joãozinho foi omitir a constante de integração ao aplicar a fórmula de integração por partes em uma integral indefinida.