Ao calcular a integral \int \frac{1}{x} \mathrm{~d} x, Joãozinho procedeu da seguinte maneira.
Fazendo \mathrm{u}=\frac{1}{\mathrm{x}}, e \mathrm{d} v=\mathrm{d} x, podemos tomar v=x, e teremos \mathrm{d} u=-\frac{1}{x^{2}} \mathrm{~d} x.
\begin{aligned} \int \frac{1}{x} d x & =\int u d v=u v-\int v d u \\\ & =\frac{1}{x} \cdot x-\int x\left(-\frac{1}{x^{2}}\right) d x=1+\int \frac{1}{x} d x \end{aligned}
Sendo \mathrm{J}=\int \frac{1}{\mathrm{x}} \mathrm{dx}, temos então \mathrm{J}=1+\mathrm{J}, \log 00=1.
Onde está o erro no argumento de Joãozinho?

Passo 1

O enunciado pede para identificar o erro no uso da integração por partes aplicado à integral indefinida
J = \int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x
Joãozinho fez u=1/x, \mathrm{d}v=\mathrm{d}x, obteve
J = \frac{1}{x}\,x - \int x\Bigl(-\frac{1}{x^2}\Bigr)\,\mathrm{d}x = 1 + \int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = 1 + J
e concluiu que 0=1. Vamos ver onde está a falha: o conteúdo é antiderivadas e a fórmula de integração por partes, lembrando que em indefinidas precisamos sempre do “ + C”.

Passo 2

A fórmula de integração por partes para primitivas diz
\int u\,\mathrm{d}v = u\,v - \int v\,\mathrm{d}u + C,
onde C é a constante de integração. Esse “ + C” é fundamental porque toda primitiva está definida apenas a menos de uma constante.

Passo 3

Aplicando corretamente a parte de Joãozinho, teríamos
J = u\,v - \int v\,\mathrm{d}u + C = 1 + J + C.
Ou seja, em vez de J = 1 + J, o resultado correto é
J = 1 + J + C.

Passo 4

Subtraindo J de ambos os lados dá
0 = 1 + C,
ou seja, C = -1. Isso não é absurdo: apenas fixa a constante de integração de modo que
\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \ln|x| + C \quad\text{com}\;C=-1
é uma das infinitas primitivas. Portanto, não há contradição.

Resposta

O erro de Joãozinho foi omitir a constante de integração ao aplicar a fórmula de integração por partes em uma integral indefinida.

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