Mostre que é separável e encontre a solução geral.
x^2 y^prime=1-x^2+y^2-x^2 y^2

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que temos aqui. O exercício pede para mostrar que a equação diferencial
x^2 y^prime=1 - x^2 + y^2 - x^2 y^2
é separável e, em seguida, encontrar a solução geral. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais separáveis, que são aquelas onde conseguimos separar as partes que envolvem $ y $ das que envolvem $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a separação. Vamos dividir ambos os lados por $ x^{2} $ para isolar $ y’ $:
x^2

Passo 3

Agora, vamos separar os termos que envolvem $ y $ dos que envolvem $ x $. Observando a equação, podemos reescrever o numerador agrupando os termos:
y
Mas para tornar a equação separável, é melhor fatorar termos semelhantes. Observamos que podemos fatorar $ y^{2} $:
x

Passo 4

Agora, vamos rearranjar a equação para isolar $ y^{\prime} $:
y^prime
Isso mostra que a equação é separável, pois conseguimos expressar $ y^{\prime} $ como uma função de $ x $ multiplicada por uma função de $ y $.

Passo 5

Agora que a equação está separável, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $:
y
Vamos dividir ambos os lados por $ 1 + y^{2} $ e multiplicar por $ dx $:
x

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados para encontrar a solução geral. A integral do lado esquerdo é conhecida:
integral 11 + y^2 dy = tan^-1(y) + C1
E a integral do lado direito:
integral 1 - x^2x^2 dx = integral 1x^2 dx - integral dx = -1x - x + C2

Passo 7

Igualando as integrais e combinando as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $ em uma única constante $ C $, temos:
C1

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
tan^-1(y) = -1x - x + C
onde $ C $ é a constante de integração.

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