Mostre que é separável e encontre a solução geral.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que temos aqui. O exercício pede para mostrar que a equação diferencial
é separável e, em seguida, encontrar a solução geral. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais separáveis, que são aquelas onde conseguimos separar as partes que envolvem $ y $ das que envolvem $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a separação. Vamos dividir ambos os lados por $ x^{2} $ para isolar $ y’ $:
Passo 3
Agora, vamos separar os termos que envolvem $ y $ dos que envolvem $ x $. Observando a equação, podemos reescrever o numerador agrupando os termos:
Mas para tornar a equação separável, é melhor fatorar termos semelhantes. Observamos que podemos fatorar $ y^{2} $:
Passo 4
Agora, vamos rearranjar a equação para isolar $ y^{\prime} $:
Isso mostra que a equação é separável, pois conseguimos expressar $ y^{\prime} $ como uma função de $ x $ multiplicada por uma função de $ y $.
Passo 5
Agora que a equação está separável, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $:
Vamos dividir ambos os lados por $ 1 + y^{2} $ e multiplicar por $ dx $:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados para encontrar a solução geral. A integral do lado esquerdo é conhecida:
E a integral do lado direito:
Passo 7
Igualando as integrais e combinando as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $ em uma única constante $ C $, temos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde $ C $ é a constante de integração.