Resolva as seguintes integrais definidas utilizando o método de integração por partes:
Passo 1
Nesse exercício, queremos calcular a integral definida de 0 a 1 de x³ cos(x) usando integração por partes, que é o conteúdo principal aqui.
Passo 2
A fórmula de integração por partes diz que
Vamos aplicar isso escolhendo
e
.
Nesse caso, temos
e
.
Portanto,
Nesse caso, temos
Portanto,
O termo de fronteira é
logo
$$
\int_0^1 x^3\cos(x),dx = \sin(1) - 3\int_0^1 x^2\sin(x),dx.
$$
Passo 3
Para resolver
, aplicamos de novo partes com
e
.
Então
e
,
logo
Então
logo
O termo de fronteira dá
ficando
$$
\int_0^1 x^2\sin(x),dx = -\cos(1) + 2\int_0^1 x\cos(x),dx.
$$
Passo 4
Agora calculamos
por partes, escolhendo
,
.
Então
e
,
portanto
Então
portanto
Isso dá
Passo 5
Voltando para
, substituímos o resultado:
Passo 6
Finalmente, voltamos à integral original:
Resposta
6 - 5 \sin(1) - 3 \cos(1)