Resolva as seguintes integrais definidas utilizando o método de integração por partes:
integral0^1 x^3 cos (x) d x

Passo 1

Nesse exercício, queremos calcular a integral definida de 0 a 1 de x³ cos(x) usando integração por partes, que é o conteúdo principal aqui.

Passo 2

A fórmula de integração por partes diz que
integral u,dv = u,v - integral v,du
Vamos aplicar isso escolhendo
u = x^3 e dv = cos(x),dx.
Nesse caso, temos
du = 3x^2,dx e v = sin(x).
Portanto,
integral0^1 x^3cos(x),dx = l[x^3sin(x)r]0^1 - integral0^1 3x^2sin(x),dx
O termo de fronteira é
1^3sin(1) - 0 = sin(1),
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$$
\int_0^1 x^3\cos(x),dx = \sin(1) - 3\int_0^1 x^2\sin(x),dx.
$$

Passo 3

Para resolver integral0^1 x^2sin(x),dx, aplicamos de novo partes com
u = x^2 e dv = sin(x),dx.
Então
du = 2x,dx e v = -cos(x),
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integral0^1 x^2sin(x),dx = l[-x^2cos(x)r]0^1 + integral0^1 2xcos(x),dx
O termo de fronteira dá
-1^2cos(1) - 0 = -cos(1),
ficando
$$
\int_0^1 x^2\sin(x),dx = -\cos(1) + 2\int_0^1 x\cos(x),dx.
$$

Passo 4

Agora calculamos integral0^1 xcos(x),dx por partes, escolhendo
u = x, dv = cos(x),dx.
Então
du = dx e v = sin(x),
portanto
integral0^1 xcos(x),dx = l[xsin(x)r]0^1 - integral0^1 sin(x),dx = l(sin(1) - 0r) - l[-cos(x)r]0^1
Isso dá
integral0^1 xcos(x),dx = sin(1) - l(-cos(1)+cos(0)r) = sin(1) + cos(1) - 1

Passo 5

Voltando para integral0^1 x^2sin(x),dx, substituímos o resultado:
integral0^1 x^2sin(x),dx = -cos(1) + 2l(sin(1) + cos(1) - 1r) = 2sin(1) + cos(1) - 2

Passo 6

Finalmente, voltamos à integral original:
integral0^1 x^3cos(x),dx = sin(1) - 3l(2sin(1) + cos(1) - 2r) = 6 - 5sin(1) - 3cos(1)

Resposta

6 - 5 \sin(1) - 3 \cos(1)

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