Mostre que a sequência
an=1+1+12!+13!+14!+cdots+1n!
é convergente e que o seu limite L satisfaz 2 <= L <= 3.
Observação: O limite sequência an é o número de Euler, em outras palavras,
e=1+1+12!+13!+14!+15!+16!+17!+18!+19!+cdots

Passo 1

O enunciado define a sequência an = 1 + 1 + 12! + 13! + cdots + 1n!. O conteúdo é convergência de sequência e temos que mostrar que (an) é monótona (não decrescente) e limitada, para então usar o Teorema da Convergência Monótona. Precisaremos também comparar a soma dos termos 1/k! com uma série geométrica.

Passo 2

Vamos mostrar que (an) é crescente, ou seja, an+1 >= an para todo n. Note que
an+1 - an = 1(n+1)! > 0
Portanto, an+1 > an e a sequência é estritamente crescente.

Passo 3

Agora vamos mostrar que (an) é limitada acima por 3. Primeiro, fica claro que an >= 1 + 1 = 2, então já temos um limite inferior. Para o limite superior, usamos que para k>=2 vale
k! = 1 cdot 2 cdot 3 cdots k >= 2^k-1,
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1k! <= 12^k-1
Assim para todo n
an = 1 + 1 + sumk=2^n 1k! <= 2 + sumk=2^n 12^k-1 <= 2 + sumj=1^infty 12^j = 2 + 1 = 3
Portanto 2 <= an <= 3 para todo n, o que mostra que a sequência é limitada.

Passo 4

Como (an) é crescente e está limitada acima, pelo Teorema da Convergência Monótona ela converge. Chamando seu limite de L, pelas desigualdades acima segue imediatamente
2 <= L <= 3

Resposta

A sequência (an) é monótona crescente e limitada, logo converge; seu limite L satisfaz 2 <= L <= 3.

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