Mostre que a sequência
é convergente e que o seu limite
satisfaz
.
Observação: O limite sequência
é o número de Euler, em outras palavras,
Observação: O limite sequência
Passo 1
O enunciado define a sequência
. O conteúdo é convergência de sequência e temos que mostrar que
é monótona (não decrescente) e limitada, para então usar o Teorema da Convergência Monótona. Precisaremos também comparar a soma dos termos
com uma série geométrica.
Passo 2
Vamos mostrar que
é crescente, ou seja,
para todo
. Note que
Portanto,
Passo 3
Agora vamos mostrar que
é limitada acima por 3. Primeiro, fica claro que
, então já temos um limite inferior. Para o limite superior, usamos que para
vale
logo
Assim para todo
Portanto
Passo 4
Como
é crescente e está limitada acima, pelo Teorema da Convergência Monótona ela converge. Chamando seu limite de
, pelas desigualdades acima segue imediatamente
Resposta
A sequência
é monótona crescente e limitada, logo converge; seu limite
satisfaz
.