Mostre que a sequência
definida recursivamente por
e
para
converge e determine o seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida de forma recursiva: o primeiro termo é $ a_1 = \frac{3}{2} $ e cada termo seguinte é dado por $ a_n = \sqrt{3 a_{n-1} - 2} $ para $ n \geq 2 $. Nosso objetivo aqui é mostrar que essa sequência converge, ou seja, que ela se aproxima cada vez mais de um certo valor limite conforme $ n $ cresce. Para isso, vamos precisar usar conceitos de limites e propriedades das sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a sequência realmente converge para algum limite $ L $. Isso significa que, tanto $ a_n $ quanto $ a_{n-1} $ vão se aproximar de $ L $ quando $ n $ tende ao infinito. Então, podemos escrever a relação de recorrência substituindo $ a_n $ e $ a_{n-1} $ por $ L $:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de $ L $. Para tirar a raiz quadrada, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Depois, reorganizamos a equação para formar uma equação quadrática padrão:
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática $ L^2 - 3L + 2 = 0 $. Podemos fatorar essa equação:
Isso nos dá duas soluções possíveis para $ L $:
Passo 5
Agora precisamos determinar qual desses valores é o limite verdadeiro da sequência. Para isso, vamos analisar o comportamento da sequência iniciando com $ a_1 = \frac{3}{2} = 1,5 $.
Calculando o próximo termo:
Observamos que $ a_2 > a_1 $. Vamos calcular mais alguns termos para ter uma ideia:
Vemos que a sequência está crescendo. Além disso, como $ a_n = \sqrt{3a_{n-1} - 2} $, para o termo ficar bem definido, precisamos que $ 3a_{n-1} - 2 > 0 $, ou seja, $ a_{n-1} > \frac{2}{3} $. Como nossos termos estão acima de 1,5, esse critério é satisfeito.
Passo 6
Dado que a sequência está aumentando e que temos dois possíveis limites, $ L = 1 $ e $ L = 2 $, vamos verificar qual deles faz sentido. Como a sequência está aumentando e começa em 1,5, ela não pode convergir para 1, que é menor que o primeiro termo. Portanto, o limite deve ser $ L = 2 $.
Resposta
A sequência $ \left{a_{n}\right} $ converge e o seu limite é $ 2 $.