Seja
uma sequência de números reais convergente com limite igual a 2. Considere uma nova sequência
cujo termo geral é:
Verifique que a sequência
é convergente calculando o seu limite.
Verifique que a sequência
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre sequências numéricas. Temos uma sequência
que converge para 2, ou seja, quando
cresce, os termos
se aproximam cada vez mais de 2. A gente cria uma nova sequência
com o termo geral:
Nosso objetivo é provar que essa nova sequência também converge e encontrar qual é o limite dela. Para isso, vamos precisar usar conceitos de limites e propriedades de sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece com
quando
tende ao infinito. Sabemos que:
Isso significa que, para valores grandes de
,
está muito perto de 2.
Passo 3
Agora, queremos encontrar o limite de
quando
tende ao infinito. Ou seja:
Substituindo o limite de
na expressão, temos uma forma do tipo
. Vamos calcular isso:
Passo 4
Mas, para garantir que a sequência
realmente converge para 7, precisamos confirmar que a função
é contínua no ponto
.
Vamos simplificar a expressão
. Notamos que
pode ser fatorado usando a diferença de cubos:
Então, substituindo na função:
Passo 5
Agora que temos
, que é uma função polinomial contínua para todo
, podemos simplesmente substituir
para encontrar o limite:
Resposta
Portanto, a sequência
é convergente e seu limite é igual a 7.