Seja an uma sequência de números reais convergente com limite igual a 2. Considere uma nova sequência bn cujo termo geral é:
bn=an^3-1an-1
Verifique que a sequência bn é convergente calculando o seu limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre sequências numéricas. Temos uma sequência an que converge para 2, ou seja, quando n cresce, os termos an se aproximam cada vez mais de 2. A gente cria uma nova sequência bn com o termo geral:
bn = an^3 - 1an - 1
Nosso objetivo é provar que essa nova sequência também converge e encontrar qual é o limite dela. Para isso, vamos precisar usar conceitos de limites e propriedades de sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece com an quando n tende ao infinito. Sabemos que:
limn to infty an = 2
Isso significa que, para valores grandes de n, an está muito perto de 2.

Passo 3

Agora, queremos encontrar o limite de bn quando n tende ao infinito. Ou seja:
limn to infty bn = limn to infty an^3 - 1an - 1
Substituindo o limite de an na expressão, temos uma forma do tipo 2^3 - 12 - 1. Vamos calcular isso:
2^3 - 12 - 1 = 8 - 11 = 71 = 7

Passo 4

Mas, para garantir que a sequência bn realmente converge para 7, precisamos confirmar que a função f(a) = a^3 - 1a - 1 é contínua no ponto a = 2.
Vamos simplificar a expressão f(a). Notamos que a^3 - 1 pode ser fatorado usando a diferença de cubos:
a^3 - 1 = (a - 1)(a^2 + a + 1)
Então, substituindo na função:
f(a) = (a - 1)(a^2 + a + 1)a - 1 = a^2 + a + 1 (para a neq 1)

Passo 5

Agora que temos f(a) = a^2 + a + 1, que é uma função polinomial contínua para todo a, podemos simplesmente substituir a = 2 para encontrar o limite:
lima to 2 f(a) = 2^2 + 2 + 1 = 4 + 2 + 1 = 7

Resposta

Portanto, a sequência bn é convergente e seu limite é igual a 7.

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