Determine se a squência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
1, 12, 1, 14, 1, 18, 1, 116, cdots

Passo 1

Beleza, vamos analisar esse exercício juntos! A gente tem uma sequência de números e precisa descobrir se ela converge (isto é, se ela se aproxima de um certo valor à medida que avançamos na sequência) ou diverge (se ela não se aproxima de nenhum valor específico). Se ela convergir, também vamos encontrar qual é esse limite. Para isso, vamos precisar entender como a sequência está se comportando e aplicar conceitos básicos de limites de sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a sequência que foi dada:
1, 12, 1, 14, 1, 18, 1, 116, cdots
Parece que os termos estão alternando entre 1 e frações que diminuem. Então, vamos separar a sequência em duas partes para facilitar a análise:
  1. Termos ímpares: 1, 1, 1, 1, …
  2. Termos pares: 12, 14, 18, 116, …

Passo 3

Vamos analisar cada uma dessas partes separadamente:
  • Termos ímpares: Todos esses termos são iguais a 1. Ou seja, para qualquer posição ímpar na sequência, o valor é sempre 1.
  • Termos pares: Esses termos formam uma sequência que está diminuindo pelo fator de 12 a cada passo. Podemos escrever essa sequência como:
an = 12^k onde k = 1, 2, 3, ldots
Isso significa que os termos pares estão seguindo uma progressão geométrica que tende a 0 conforme k aumenta.

Passo 4

Agora, vamos verificar os limites de cada uma dessas subsequências:
  • Para os termos ímpares:
limn to infty 1 = 1
Isso quer dizer que os termos ímpares tendem a 1.
  • Para os termos pares:
limk to infty 12^k = 0
Então, os termos pares tendem a 0.

Passo 5

Para que uma sequência converja, todos os seus termos devem tender para o mesmo valor à medida que avançamos na sequência. Porém, no nosso caso:
  • Os termos ímpares tendem a 1.
  • Os termos pares tendem a 0.
Como esses dois limites são diferentes, a sequência como um todo não converge para nenhum valor específico.

Resposta

A sequência diverge porque os termos ímpares tendem a 1 e os termos pares tendem a 0, valores diferentes.

Exercícios relacionados