Determine se a squência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
Beleza, vamos analisar esse exercício juntos! A gente tem uma sequência de números e precisa descobrir se ela converge (isto é, se ela se aproxima de um certo valor à medida que avançamos na sequência) ou diverge (se ela não se aproxima de nenhum valor específico). Se ela convergir, também vamos encontrar qual é esse limite. Para isso, vamos precisar entender como a sequência está se comportando e aplicar conceitos básicos de limites de sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a sequência que foi dada:
Parece que os termos estão alternando entre 1 e frações que diminuem. Então, vamos separar a sequência em duas partes para facilitar a análise:
- Termos ímpares: 1, 1, 1, 1, …
- Termos pares:
, , , , …
Passo 3
Vamos analisar cada uma dessas partes separadamente:
-
Termos ímpares: Todos esses termos são iguais a 1. Ou seja, para qualquer posição ímpar na sequência, o valor é sempre 1.
-
Termos pares: Esses termos formam uma sequência que está diminuindo pelo fator de
a cada passo. Podemos escrever essa sequência como:
Isso significa que os termos pares estão seguindo uma progressão geométrica que tende a 0 conforme
aumenta.
Passo 4
Agora, vamos verificar os limites de cada uma dessas subsequências:
- Para os termos ímpares:
Isso quer dizer que os termos ímpares tendem a 1.
- Para os termos pares:
Então, os termos pares tendem a 0.
Passo 5
Para que uma sequência converja, todos os seus termos devem tender para o mesmo valor à medida que avançamos na sequência. Porém, no nosso caso:
- Os termos ímpares tendem a 1.
- Os termos pares tendem a 0.
Como esses dois limites são diferentes, a sequência como um todo não converge para nenhum valor específico.
Resposta
A sequência diverge porque os termos ímpares tendem a 1 e os termos pares tendem a 0, valores diferentes.