Mostre que a sequência an=(-1)^n não é convergente.

Passo 1

O enunciado define a sequência an = (-1)^n e pede para mostrar que ela não converge. O conteúdo envolvido é a definição de convergência de sequência numérica real:
Uma sequência (an) converge para L se, e somente se, para todo varepsilon>0 existe NinN tal que, para todo n>N,
|an - L| < varepsilon

Passo 2

Suponha, por contradição, que (an) converge para algum limite L. Então, pela definição, para qualquer varepsilon>0 existe N tal que, sempre que n>N, vale
|(-1)^n - L| < varepsilon

Passo 3

Escolha varepsilon = 1. Então existe N tal que, para todo n>N,
|(-1)^n - L| < 1
Em particular:
  • Se n for par, então (-1)^n = 1 e |1 - L| < 1 Longrightarrow 0 < L < 2
  • Se n for ímpar, então (-1)^n = -1 e |-1 - L| < 1 Longrightarrow -2 < L < 0
Não há valor de L que esteja simultaneamente em (0,2) e em (-2,0). Isso é uma contradição.

Passo 4

Como chegamos a uma contradição ao supor que (an) convergia, concluímos que essa sequência não converge.

Resposta

A sequência an = (-1)^n não é convergente.

Exercícios relacionados