Mostre que a sequência
não é convergente.
Passo 1
O enunciado define a sequência
e pede para mostrar que ela não converge. O conteúdo envolvido é a definição de convergência de sequência numérica real:
Uma sequência
converge para
se, e somente se, para todo
existe
tal que, para todo
,
Passo 2
Suponha, por contradição, que
converge para algum limite
. Então, pela definição, para qualquer
existe
tal que, sempre que
, vale
Passo 3
Escolha
. Então existe
tal que, para todo
,
Em particular:
- Se
for par, então e - Se
for ímpar, então e
Não há valor de
que esteja simultaneamente em
e em
. Isso é uma contradição.
Passo 4
Como chegamos a uma contradição ao supor que
convergia, concluímos que essa sequência não converge.
Resposta
A sequência
não é convergente.