Mostre que
f(x, y)=2 x^2 y-x y^2x^2+y^2+1
é contínua. Calcule:
lim (x, y) (1,2) f(x, y)

Passo 1

O enunciado pede pra mostrar que a função
f(x,y)=2 x^2 y - x y^2x^2 + y^2 + 1
é contínua e calcular
. O conteúdo envolve continuidade de funções de várias variáveis e regras de limite. Vamos usar que polinômios são contínuos e a regra do quociente.

Passo 2

Definindo N(x,y)=2x^2y-xy^2 e D(x,y)=x^2+y^2+1, vemos que ambas são polinômios em x e y e, portanto, contínuas. Além disso, D(x,y)>=1>0 para todo (x,y), então o denominador nunca zera. Pela regra do quociente, f=N/D é contínua em R^2.

Passo 3

Como f é contínua em (1,2), o limite
lim(x,y)to(1,2)f(x,y)=f(1,2)
vai existir e valer f(1,2).

Passo 4

Para calcular f(1,2), substituímos: o numerador fica
2cdot1^2cdot2-1cdot2^2=4-4=0
e o denominador fica
1^2+2^2+1=6
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f(1,2)=0/6=0 .

Resposta

0

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