Mostre que a sequência dada é, a partir de um certo termo, estritamente crescente ou estritamente decrescente.
Passo 1
Temos a sequência
. O conteúdo é monotonicidade de sequências, e vamos precisar usar o critério da razão entre termos consecutivos.
Passo 2
Definimos
e calculamos a razão
. Usando manipulações algébricas, obtemos:
Passo 3
Para que a sequência seja estritamente decrescente, precisamos de
. Isso equivale a
Observamos que a função
é decrescente em
. Calculando em
, temos
Portanto, para todo
, vale
, garantindo
.
Passo 4
Como
para todo
, concluímos que
nesses termos. Assim, a sequência é estritamente decrescente a partir de
.
Resposta
A sequência é estritamente decrescente para todo n ≥ 5.