Mostre que a sequência dada é, a partir de um certo termo, estritamente crescente ou estritamente decrescente.
n^5 e^-nn=1^+infty

Passo 1

Temos a sequência n^5 e^-nn=1^+infty. O conteúdo é monotonicidade de sequências, e vamos precisar usar o critério da razão entre termos consecutivos.

Passo 2

Definimos an = n^5 e^-n e calculamos a razão an+1/an. Usando manipulações algébricas, obtemos:
an+1an = (n+1)^5 e^-(n+1)n^5 e^-n = l(n+1nr)^5 e^-1

Passo 3

Para que a sequência seja estritamente decrescente, precisamos de an+1/an < 1. Isso equivale a
l(1 + 1nr)^5 < e
Observamos que a função f(n) = (1 + 1/n)^5 é decrescente em n. Calculando em n = 5, temos
l(1 + 15r)^5 = l(65r)^5 = 77763125 approx 2,488 < e approx 2,718
Portanto, para todo n >= 5, vale (1 + 1/n)^5 <= (6/5)^5 < e, garantindo an+1/an < 1.

Passo 4

Como an+1/an < 1 para todo n >= 5, concluímos que an+1 < an nesses termos. Assim, a sequência é estritamente decrescente a partir de n = 5.

Resposta

A sequência é estritamente decrescente para todo n ≥ 5.

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