Com o objetivo de fazer uma previdência particular uma pessoa deposita uma quantia de R por mês durante 20 anos (suponha que o depósito é feito continuamente a uma taxa de R por mês durante 20 anos (suponha que o depósito é feito continuamente a uma taxa de R por mês e que o saldo inicial é zero).
Se após o período anterior esta pessoa quisesse fazer retiradas mensais, qual deveria ser o valor destas retiradas para que em 20 anos tenha desaparecido o capital, se a taxa de juros continuasse em 100,00 (contínua)?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas partes aqui:
  1. Acumulação: Uma pessoa deposita R$100,00 todo mês durante 20 anos numa poupança.
  2. Retirada: Depois desses 20 anos, ela quer começar a tirar dinheiro todo mês durante mais 20 anos, de forma que todo o dinheiro acumulado seja usado, considerando uma taxa de juros de 1% ao mês, calculada de forma contínua.
Vamos precisar usar conceitos de progressão de capital com depósitos e retiradas periódicas e aplicar fórmulas de juros compostos contínuos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular quanto essa pessoa vai ter acumulado após os 20 anos de depósitos mensais.
Como os depósitos são feitos de forma contínua e a taxa de juros é de 1% ao mês de forma contínua, usamos a fórmula do valor futuro para depósitos contínuos:
FV = P times ( e^rt - 1r )
Onde:
  • $ FV $ é o valor futuro acumulado,
  • $ P $ é o pagamento contínuo (R$100,00),
  • $ r $ é a taxa de juros contínua (0,01 ao mês),
  • $ t $ é o tempo em meses (20 anos × 12 = 240 meses).
Vamos calcular:
FV
Primeiro, calculamos o expoente:
P
Agora, $ e^{2,4} \approx 11,0232 $
Substituindo na fórmula:
100,00), -
é a taxa de juros contínua (0,01 ao mês), -
é o tempo em meses (20 anos × 12 = 240 meses) Vamos calcular:
FV = 100 times ( e^0,01 times 240 - 10,01 )
Então, após 20 anos de depósitos, a pessoa terá aproximadamente R$100.232,00 acumulados.

Passo 3

Agora, vamos calcular quanto essa pessoa pode retirar mensalmente durante mais 20 anos, de forma que todo esse dinheiro seja usado, considerando a mesma taxa de juros contínua de 1% ao mês.
Usaremos a fórmula da retirada contínua:
PMT = FV times r1 - e^-rt
Onde:
  • $ PMT $ é o pagamento contínuo que queremos encontrar,
  • $ FV $ é o valor acumulado (R$100.232,00),
  • $ r $ é a taxa de juros contínua (0,01 ao mês),
  • $ t $ é o tempo em meses (20 anos × 12 = 240 meses).
Vamos calcular:
PMT
Primeiro, calculamos o expoente:
FV
Agora, $ e^{-2,4} \approx 0,0907 $
Substituindo na fórmula:
100.232,00), -
é a taxa de juros contínua (0,01 ao mês), -
é o tempo em meses (20 anos × 12 = 240 meses) Vamos calcular:

Resposta

A pessoa deve retirar aproximadamente R$1.102,89 por mês durante 20 anos para zerar o capital acumulado.

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