Mostre que a sequência ( a_{n} ) definida recursivamente por
a_{1}=1 \text { e } a_{n+1}=\sqrt{1+a_{n}}, \quad n \geq 1,
converge e calcule seu limite.

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência (a_n) definida por
a_{1}=1\qquad\text{e}\qquad a_{n+1}=\sqrt{1+a_{n}},\quad n\ge 1.
O que o problema pede:
  • Mostrar que a sequência (a_n) converge.
  • Calcular o limite \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O primeiro termo é a_{1}=1.
  • Cada termo é obtido aplicando a função f(x)=\sqrt{1+x} ao termo anterior: a_{n+1}=f(a_n).

Passo 2

Estratégia que vamos usar (sem resolver ainda): uma forma clássica é provar que (a_n) é monotônica (aumentante ou decrescente) e limitada (acima ou abaixo). Pelo Teorema da Convergência Monótona, se uma sequência é monotônica e limitada, então ela converge. Depois, ao assumir que o limite existe e chamar de \ell, usamos a recorrência no limite para encontrar \ell.
Vou seguir exatamente esse plano: (i) mostrar que (a_n) é limitada por cima por um certo número (o candidato natural será a raiz positiva da equação fixa), (ii) mostrar que (a_n) é crescente, (iii) concluir convergência e (iv) calcular o limite resolvendo a equação fixa.

Passo 3

Encontrar um candidato para o limite (ponto fixo) e provar que a sequência é limitada por esse valor.
Procure \ell tal que \ell=\sqrt{1+\ell}. Resolvendo:
\ell^{2}=\ell+1\qquad\Rightarrow\qquad \ell^{2}-\ell-1=0.
As raízes dessa equação quadrática são
\ell=\frac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}.
Há duas soluções: \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}<0 e \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}>0. Como todos os termos a_n são obtidos por \sqrt{\cdot}, eles são não negativos; portanto o único candidato plausível para limite é
\varphi:=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\quad(\text{o número áureo},\approx 1,618\ldots).úá
Agora vamos provar por indução que todos os termos ficam abaixo de \varphi, isto é, a_n<\varphi para todo n.
Base ( n=1): a_{1}=1<\varphi porque \varphi\approx1,618.
Passo indutivo: suponha a_{n}<\varphi. Então, usando a definição,
a_{n+1}=\sqrt{1+a_{n}}<\sqrt{1+\varphi}.
Mas \varphi satisfaz \varphi^{2}=\varphi+1, logo \sqrt{1+\varphi}=\sqrt{\varphi^{2}}=\varphi (como \varphi>0). Portanto a_{n+1}<\varphi. Assim, por indução, todos os termos satisfazem
0\le a_n<\varphi\quad\text{para todo }n\ge1.
Logo a sequência é limitada superiormente por \varphi.

Passo 4

Mostrar que a sequência é monotonicamente crescente.
Primeiro calcule a_{2}:
a_{2}=\sqrt{1+a_{1}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\approx1{,}414>1=a_{1},
então a_2>a_1.
Considere a função f(x)=\sqrt{1+x} definida para x\ge -1. Essa função é estritamente crescente nesse domínio, porque sua derivada é
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{1+x}}>0\quad\text{para }x>-1.
Logo, se u>v então f(u)>f(v).
Agora usamos indução para a monotonicidade: já temos a_2>a_1. Suponha a_n>a_{n-1} para algum n\ge2. Aplicando f em ambos os lados (lembrando que f é crescente) obtemos
a_{n+1}=f(a_n)>f(a_{n-1})=a_n.
Assim por indução a_{n+1}>a_n para todo n\ge1. Portanto a sequência (a_n) é estritamente crescente.
(Observação intuitiva alternativa: também se pode ver que, enquanto a_n<\varphi, tem-se \sqrt{1+a_n}>a_n, o que garante crescimento. A prova acima com a monotonicidade de f é mais direta.)

Passo 5

Conclusão de convergência.
Já mostramos que (a_n) é crescente e limitada superiormente por \varphi. Pelo Teorema da Convergência Monótona, toda sequência monotônica e limitada converge. Portanto (a_n) converge. Denotemos o limite por \ell:
\ell:=\lim_{n\to\infty}a_n\qquad\text{existe}.

Passo 6

Cálculo do limite.
Como a_{n+1}=\sqrt{1+a_n} e a_n\to\ell, passando ao limite em ambos os lados e usando a continuidade da raiz quadrada, obtemos
\ell=\sqrt{1+\ell}.
Já resolvemos essa equação no Passo 3; as soluções são \dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}. Como \ell é limite de termos não negativos e sabemos que a_n\ge1 para todo n (na verdade a_n\ge1 para n\ge1), o valor do limite deve ser \ell\ge1. Assim descartamos a raiz negativa e ficamos com
\ell=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.

Passo 7

Resumo final e comentário numérico amigável.
Portanto a sequência converge e seu limite é o número áureo \varphi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\approx1{,}6180339\ldots. Isso encaixa com a intuição: os termos começam em 1, depois \sqrt{2}, depois aumentam e vão se aproximando de \varphi.

Resposta

A sequência converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.

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