Mostre que a sequência (
) definida recursivamente por
converge e calcule seu limite.
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
definida por
O que o problema pede:
- Mostrar que a sequência
converge. - Calcular o limite
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O primeiro termo é
. - Cada termo é obtido aplicando a função
ao termo anterior: .
Passo 2
Estratégia que vamos usar (sem resolver ainda): uma forma clássica é provar que
é monotônica (aumentante ou decrescente) e limitada (acima ou abaixo). Pelo Teorema da Convergência Monótona, se uma sequência é monotônica e limitada, então ela converge. Depois, ao assumir que o limite existe e chamar de
, usamos a recorrência no limite para encontrar
.
Vou seguir exatamente esse plano: (i) mostrar que
é limitada por cima por um certo número (o candidato natural será a raiz positiva da equação fixa), (ii) mostrar que
é crescente, (iii) concluir convergência e (iv) calcular o limite resolvendo a equação fixa.
Passo 3
Encontrar um candidato para o limite (ponto fixo) e provar que a sequência é limitada por esse valor.
Procure
tal que
. Resolvendo:
As raízes dessa equação quadrática são
Há duas soluções:
e
. Como todos os termos
são obtidos por
, eles são não negativos; portanto o único candidato plausível para limite é
Agora vamos provar por indução que todos os termos ficam abaixo de
, isto é,
para todo
.
Base (
):
porque
.
Passo indutivo: suponha
. Então, usando a definição,
Mas
satisfaz
, logo
(como
). Portanto
. Assim, por indução, todos os termos satisfazem
Logo a sequência é limitada superiormente por
.
Passo 4
Mostrar que a sequência é monotonicamente crescente.
Primeiro calcule
:
então
.
Considere a função
definida para
. Essa função é estritamente crescente nesse domínio, porque sua derivada é
Logo, se
então
.
Agora usamos indução para a monotonicidade: já temos
. Suponha
para algum
. Aplicando
em ambos os lados (lembrando que
é crescente) obtemos
Assim por indução
para todo
. Portanto a sequência
é estritamente crescente.
(Observação intuitiva alternativa: também se pode ver que, enquanto
, tem-se
, o que garante crescimento. A prova acima com a monotonicidade de
é mais direta.)
Passo 5
Conclusão de convergência.
Já mostramos que
é crescente e limitada superiormente por
. Pelo Teorema da Convergência Monótona, toda sequência monotônica e limitada converge. Portanto
converge. Denotemos o limite por
:
Passo 6
Cálculo do limite.
Como
e
, passando ao limite em ambos os lados e usando a continuidade da raiz quadrada, obtemos
Já resolvemos essa equação no Passo 3; as soluções são
. Como
é limite de termos não negativos e sabemos que
para todo
(na verdade
para
), o valor do limite deve ser
. Assim descartamos a raiz negativa e ficamos com
Passo 7
Resumo final e comentário numérico amigável.
Portanto a sequência converge e seu limite é o número áureo
. Isso encaixa com a intuição: os termos começam em
, depois
, depois aumentam e vão se aproximando de
.
Resposta
A sequência converge e
.