Considere a sequência ( a_{n} ) dada por
a_{1}=2,5 \quad \text { e } \quad a_{n}=\frac{1}{5}\left(a_{n-1}^{2}+6\right), \quad \text { para } n>1
Mostre que:
(a) 2 \leq a_{n} \leq 3, \quad para todo n \in \mathbb{N};
(b) \left(a_{n}\right) é decrescente;
(c) \left(a_{n}\right) converge e encontre o seu limite.

Passo 1

O enunciado dá a sequência \left(a_n\right) definida por
a_{1}=2,5 \qquad\text{e}\qquad a_{n}=\frac{1}{5}\bigl(a_{n-1}^{2}+6\bigr)\quad\text{para }n>1.
O que pede o problema:
(a) Mostrar que 2\le a_{n}\le 3 para todo n\in\mathbb{N}.
(b) Mostrar que \left(a_{n}\right) é decrescente.
(c) Mostrar que \left(a_{n}\right) converge e determinar o seu limite.

Passo 2

Vamos provar (a) por indução matemática. Primeiro explico rápido o que é indução: prova-se que a propriedade vale para um caso inicial (base) e que, se vale para um índice genérico n-1, então vale para n (passo indutivo). Assim conclui-se que vale para todos os n.
Base da indução: para n=1 temos a_{1}=2{,}5. Verifico que
2 \le 2{,}5 \le 3,
logo a propriedade vale para n=1.
Passo indutivo: suponha que para algum k\ge1 vale
2 \le a_{k} \le 3.
Quero mostrar que então 2 \le a_{k+1}\le 3. Usei a hipótese de indução que tem exatamente as duas desigualdades; agora trabalho com a definição da sequência:
a_{k+1}=\frac{1}{5}\bigl(a_k^2+6\bigr).

Passo 3

Verificação do limite inferior 2\le a_{k+1}. A desigualdade a provar é
\frac{1}{5}\bigl(a_k^2+6\bigr)\ge 2.
Multiplicando por 5 (positivo) obtemos a equivalente
a_k^2+6\ge 10 \quad\Longleftrightarrow\quad a_k^2\ge 4.
Como pela hipótese indutiva a_k\ge 2, segue a_k^2\ge 2^2=4. Portanto a_{k+1}\ge 2.

Passo 4

Verificação do limite superior a_{k+1}\le 3. A desigualdade a provar é
\frac{1}{5}\bigl(a_k^2+6\bigr)\le 3.
Multiplicando por 5 obtemos
a_k^2+6\le 15 \quad\Longleftrightarrow\quad a_k^2\le 9.
Pela hipótese indutiva a_k\le 3, logo a_k^2\le 3^2=9. Portanto a_{k+1}\le 3.

Passo 5

Concluindo a indução: como a propriedade vale para n=1 e o passo indutivo foi estabelecido, segue que para todo n\in\mathbb{N} vale
2 \le a_n \le 3.
Isso prova o item (a).

Passo 6

Agora mostro (b): que \left(a_n\right) é decrescente. A ideia é comparar a_n com a_{n-1} usando a forma funcional
a_n=f(a_{n-1}),\qquad\text{onde}\qquad f(x)=\frac{1}{5}(x^2+6).
Quero provar que f(x)\le x para todo x\in[2,3]. Escrevo a desigualdade
\frac{1}{5}(x^2+6)\le x
e passo para formas equivalentes multiplicando por 5:
x^2+6\le 5x \quad\Longleftrightarrow\quad x^2-5x+6\le 0.
Fatorando o polinômio temos
x^2-5x+6=(x-2)(x-3).
Para x\in[2,3] tem-se (x-2)\ge0 e (x-3)\le0, logo (x-2)(x-3)\le0. Portanto x^2-5x+6\le0 e assim f(x)\le x para todo x\in[2,3].

Passo 7

Aplicando isso à sequência: como vimos em (a) todos os a_{n-1} pertencem a [2,3], temos
a_n=f(a_{n-1})\le a_{n-1}\quad\text{para todo }n>1.
Além disso, note que para x\in(2,3) a desigualdade é estrita, pois (x-2)(x-3)<0, o que dá f(x)<x. Como a_1=2{,}5\in(2,3), segue por indução que todos os a_n com n\ge2 pertencem a (2,3) e, portanto, para todo n\ge2 tem-se a_n<a_{n-1}. Assim a sequência é decrescente (mais precisamente, estritamente decrescente a partir do segundo termo).

Passo 8

Agora (c): convergência e limite. Vou usar um teorema básico e muito útil: toda sequência monótona e limitada converge. Já mostrei que \left(a_n\right) é decrescente e que é limitada inferiormente por 2. Portanto \left(a_n\right) converge.
Seja
L=\lim_{n\to\infty} a_n.
Como a definição de a_n envolve uma função contínua f(x)=\dfrac{1}{5}(x^2+6), posso aplicar limite em ambos os lados da relação a_n=f(a_{n-1}). Usando continuidade e o fato de que a_{n-1}\to L segue
L=f(L)=\frac{1}{5}(L^2+6).

Passo 9

Resolver a equação para L. Multiplicando por 5 obtemos
L^2+6=5L \quad\Longleftrightarrow\quad L^2-5L+6=0.
Fatorando:
L^2-5L+6=(L-2)(L-3)=0,
logo as raízes são L=2 ou L=3.

Passo 10

Escolher a raiz correta com argumento de monotonicidade/posicionamento inicial: a sequência é decrescente e a_1=2{,}5. Uma sequência decrescente que começa em 2{,}5 não pode convergir para 3 (porque 3>a_1), então o único possível é L=2. Assim
\lim_{n\to\infty} a_n = 2.

Resposta

(a) 2 \le a_{n} \le 3 para todo n\in\mathbb{N}.
(b) \left(a_{n}\right) é decrescente.
(c) \left(a_{n}\right) converge e \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=2.

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