Considere a sequência (
) dada por
Mostre que:
(a)
para todo
;
(b)
é decrescente;
(c)
converge e encontre o seu limite.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado dá a sequência
definida por
O que pede o problema:
(a) Mostrar que para todo
.
(b) Mostrar que é decrescente.
(c) Mostrar que converge e determinar o seu limite.
(a) Mostrar que
(b) Mostrar que
(c) Mostrar que
Passo 2
Vamos provar (a) por indução matemática. Primeiro explico rápido o que é indução: prova-se que a propriedade vale para um caso inicial (base) e que, se vale para um índice genérico
, então vale para
(passo indutivo). Assim conclui-se que vale para todos os
.
Base da indução: para
temos
. Verifico que
logo a propriedade vale para
.
Passo indutivo: suponha que para algum
vale
Quero mostrar que então
. Usei a hipótese de indução que tem exatamente as duas desigualdades; agora trabalho com a definição da sequência:
Passo 3
Verificação do limite inferior
. A desigualdade a provar é
Multiplicando por
(positivo) obtemos a equivalente
Como pela hipótese indutiva
, segue
. Portanto
.
Passo 4
Verificação do limite superior
. A desigualdade a provar é
Multiplicando por
obtemos
Pela hipótese indutiva
, logo
. Portanto
.
Passo 5
Concluindo a indução: como a propriedade vale para
e o passo indutivo foi estabelecido, segue que para todo
vale
Isso prova o item (a).
Passo 6
Agora mostro (b): que
é decrescente. A ideia é comparar
com
usando a forma funcional
Quero provar que
para todo
. Escrevo a desigualdade
e passo para formas equivalentes multiplicando por
:
Fatorando o polinômio temos
Para
tem-se
e
, logo
. Portanto
e assim
para todo
.
Passo 7
Aplicando isso à sequência: como vimos em (a) todos os
pertencem a
, temos
Além disso, note que para
a desigualdade é estrita, pois
, o que dá
. Como
, segue por indução que todos os
com
pertencem a
e, portanto, para todo
tem-se
. Assim a sequência é decrescente (mais precisamente, estritamente decrescente a partir do segundo termo).
Passo 8
Agora (c): convergência e limite. Vou usar um teorema básico e muito útil: toda sequência monótona e limitada converge. Já mostrei que
é decrescente e que é limitada inferiormente por
. Portanto
converge.
Seja
Como a definição de
envolve uma função contínua
, posso aplicar limite em ambos os lados da relação
. Usando continuidade e o fato de que
segue
Passo 9
Resolver a equação para
. Multiplicando por
obtemos
Fatorando:
logo as raízes são
ou
.
Passo 10
Escolher a raiz correta com argumento de monotonicidade/posicionamento inicial: a sequência é decrescente e
. Uma sequência decrescente que começa em
não pode convergir para
(porque
), então o único possível é
. Assim
Resposta
(a)
para todo
.
(b) é decrescente.
(c) converge e
.
(b)
(c)